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In teoria delle probabilità la distribuzione di Dagum è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nell'ambito delle analisi della distribuzione del reddito e della ricchezza. Venne descritta da Camilo Dagum nel 1977 nell'articolo A new Model of Personal Income Distribution: specification and estimation, comparso in "Economie Appliquée".
Metodologia
La funzione di ripartizione
La funzione di ripartizione è definita per valori non negativi (
)
![{\displaystyle F(x)=\alpha +(1-\alpha )(1-\lambda x^{-\delta })^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bdb55c3e99f48d3c5f6a03b785d740a3ec2eb0)
dove si interpreta che
- se
allora si applica ai casi nei quali X descrive un reddito, ovvero un flusso, in un intervallo di tempo continuo - se
allora si applica ai casi nei quali X descrive la ricchezza, ovvero uno stock, in un istante di tempo
La F(x) è la soluzione all'equazione differenziale
![{\displaystyle f(x)=\beta _{1}\left(1-\left({\frac {F(x)-\alpha }{1-\alpha }}\right)^{\beta _{2}}\right){\frac {F(x)-\alpha }{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e6d91b540ba5c6d8d62baa713c682bc8c032c0)
dove
- f(x) è la funzione di densità di probabilità
- β = 1 / β2
- δ = β1 β2
- λ = ec, dove c è la costante d'integrazione
La funzione di densità di probabilità
La funzione di densità di probabilità è data da
per x>0
mentre per x=0 assume il valore α.
I momenti di ordine k
I momenti di ordine k sono definiti solo per k<δ
![{\displaystyle \mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{k/\delta }B(\beta +k/\delta ;1-k/\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e143a7680f68c22dabbf0dd76a3015d46d008ae9)
dove B(. ; .) è la funzione Beta.
Il valore atteso diventa pertanto
![{\displaystyle \mu _{k}=(1-\alpha )\beta \lambda ^{1/\delta }B(\beta +1/\delta ;1-1/\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b862c2078899393b50fec28f5d7f74aa7d531a5)
moda
![{\displaystyle moda=\lambda ^{1/\delta }({\frac {\beta \delta -1}{1+\delta }})^{1/\delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e62b6a874a023ce4859c6693797bb2de005fae)
mediana:
![{\displaystyle mediana=\lambda ^{1/\delta }(1-({\frac {1/2-\alpha }{1-\alpha }})^{1/\beta })^{-1/\delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e7fda9634f855ed5bdb72dc21f6b5ab54f73b4)
Voci correlate
- Variabile casuale paretiana
- Camilo Dagum
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