Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma

Disambiguazione – Se stai cercando la disuguaglianza omonima riguardante la teoria della probabilità, vedi Disuguaglianza di Čebyšëv.

In matematica, la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv, stabilisce che se:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$

allora:

${\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

In modo simile, se:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n}}$

allora:

${\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

o meglio:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}$

La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Si supponga di avere:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\quad ;\quad b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}$

per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}$

sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n})}$

e dividendo per ${\displaystyle n^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}}$

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni reali ed integrabili in ${\displaystyle [0,1]}$, entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:

${\displaystyle \int fg\geq \int f\int g}$

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.

• (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
• (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood e G. Pólya, Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-35880-9, MR 0944909.
• (EN) Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

• Disuguaglianza di riarrangiamento

• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, su MathWorld, Wolfram Research.

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