Equazioni di Cauchy-Riemann

In matematica, e più precisamente in analisi complessa, le equazioni di Cauchy-Riemann sono due equazioni alle derivate parziali che esprimono una condizione necessaria affinché una funzione sia olomorfa (che, nel campo complesso, equivale alla condizione di analiticità, a differenza di quanto succede nel campo reale). Se sia la parte reale sia quella immaginaria (funzioni reali in due variabili reali) della funzione complessa sono anche differenziabili, oltre a soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, allora la condizione per l'olomorfia è anche sufficiente.

Una versione lievemente più generale di queste equazioni esprime una condizione perché una funzione sia armonica.

Storia

Le equazioni furono usate per la prima volta in alcuni lavori di D'Alembert nel 1752. Successivamente, nel 1777 Eulero stabilì una connessione fra le equazioni e le funzioni analitiche. Cauchy le utilizzò quindi per costruire una teoria delle funzioni olomorfe nel 1814 nell'articolo Sur les intégrales définies. Infine, Riemann ne fece largo uso nella sua tesi nel 1851.

Definizione

Sia

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

una funzione complessa, definita su un insieme aperto ${\displaystyle A}$ del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Scritta in questa forma, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono variabili reali, mentre ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono funzioni a valori reali, definite su ${\displaystyle A}$ interpretato come sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Infine, ${\displaystyle i}$ è l'unità immaginaria.

Le equazioni di Cauchy-Riemann stabiliscono che:

Le equazioni possono essere riformulate nell'ambito complesso nel modo seguente:

${\displaystyle {i{\partial f \over \partial x}}={\partial f \over \partial y}.}$

Interpretazione geometrica

Le equazioni corrispondono alla condizione che la matrice jacobiana sia della forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$

Geometricamente, questo esprime il fatto che la funzione è una mappa conforme. Infatti un tale jacobiano è composizione di rotazioni

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

e omotetie

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&\;\;a\end{pmatrix}}.}$

Armonicità

Esiste una versione più generale delle equazioni di Cauchy-Riemann che garantisce che una funzione

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} ^{2}}$

definita su un insieme aperto ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sia armonica. Poiché una funzione armonica è olomorfa o antiolomorfa, le equazioni sono quelle appena descritte, oppure le opposte

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=-{\partial v \over \partial y},}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}={\partial v \over \partial x}.}$

Queste ultime, se verificate, garantiscono che la funzione è antiolomorfa. Una funzione differenziabile con derivate parziali continue è quindi armonica se e solo se soddisfa queste equazioni oppure quelle sopra. Un esempio di funzione antiolomorfa è la coniugazione complessa

${\displaystyle f(z)={\bar {z}}.}$

Condizione sufficiente

È facile verificare che le equazioni di Cauchy-Riemann garantiscono che la funzione è armonica, nell'ipotesi che ${\displaystyle f}$ abbia derivate parziali seconde continue. Derivando parzialmente la prima equazione rispetto a ${\displaystyle x}$ e la seconda rispetto a ${\displaystyle y}$ si ottengono rispettivamente

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}={\partial ^{2}v \over \partial x\partial y},}$

${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-{\partial ^{2}v \over \partial y\partial x}.}$

Sommando le due equazioni e usando il teorema di Schwarz si ottiene l'equazione di Laplace

${\displaystyle \Delta u={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=0}$

che determina l'armonicità di una funzione. Si ottiene un risultato analogo per ${\displaystyle v}$.

Voci correlate

• Funzione olomorfa
• Funzione armonica
• Equazione di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazioni di Cauchy-Riemann, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazioni di Cauchy-Riemann, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica