Formula di Cauchy-Binet

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato

Siano ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ due matrici rispettivamente di tipo ${\displaystyle m\times n}$ e ${\displaystyle n\times m}$. Il loro prodotto ${\displaystyle AB}$ è quindi una matrice quadrata ${\displaystyle m\times m}$.

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di ${\displaystyle AB}$ come:

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S}),}$

dove ${\displaystyle S}$ varia fra i sottoinsiemi con ${\displaystyle m}$ elementi dell'insieme ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$. Per ogni ${\displaystyle S}$, la matrice ${\displaystyle A_{S}}$ è la sottomatrice quadrata di ordine ${\displaystyle m\times m}$ ottenuta da ${\displaystyle A}$ prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a ${\displaystyle S}$. Analogamente, ${\displaystyle B_{S}}$ è la sottomatrice quadrata di ordine ${\displaystyle m\times m}$ ottenuta da ${\displaystyle B}$ prendendo solo le righe i cui indici appartengono a ${\displaystyle S}$.

Proprietà

• Nel caso in cui ${\displaystyle m=n}$, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
• Se ${\displaystyle m>n}$, l'insieme ${\displaystyle S}$ è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
• Se ${\displaystyle m<n}$, l'insieme ${\displaystyle S}$ consta di ${\displaystyle {\binom {n}{m}}}$ elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo

Se ${\displaystyle A}$ è una matrice reale ${\displaystyle m\times n}$, il determinante di ${\displaystyle A^{t}A}$ è uguale al quadrato del volume ${\displaystyle m}$-dimensionale del parallelotopo in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ generato dalle colonne di ${\displaystyle A}$.

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione ${\displaystyle m}$. Nel caso ${\displaystyle m=1}$, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Relazione con il delta di Kronecker generalizzato

Lo stesso argomento in dettaglio: Delta di Kronecker.

La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

dove:

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )},\qquad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

Si ha inoltre:

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

Bibliografia

• (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.
• (EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.

Voci correlate

• Determinante
• Moltiplicazione di matrici
• Teorema di Binet

Collegamenti esterni

• (EN) AA. VV., Cauchy Binet formula, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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