Formula di Cauchy per integrazioni ripetute

In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.

Enunciato

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto^[1]

${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{0}^{x}\int _{0}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{0}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})d\sigma _{n}\cdots d\sigma _{2}d\sigma _{1}}$

è dato dal singolo integrale

${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)dy}$.

Dimostrazione

La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché ${\displaystyle f}$ è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)}$;

dove

${\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Ora, supposto questo vero per ${\displaystyle n}$, non resta che provarlo per ${\displaystyle n+1}$ . Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

Allora, applicando l'ipotesi induttiva,

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

e questo completa la dimostrazione.

Applicazioni

Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare ${\displaystyle (n-1)!}$ come ${\displaystyle \Gamma (n)}$ (vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.

Note

Bibliografia

• (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2

Collegamenti esterni

• Alan Beardon, Fractional calculus II, su nrich.maths.org, University of Cambridge, 2000.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica