Funzioni theta

In matematica, le funzioni theta di Jacobi sono funzioni speciali utili in analisi complessa.

Le funzioni ${\displaystyle \vartheta _{1}(z,q),\vartheta _{2}(z,q),\vartheta _{3}(z,q),\vartheta _{4}(z,q)}$ sono state introdotte dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi nella teoria delle funzioni ellittiche nel 1829. Sono rispettivamente definite con le serie:

${\displaystyle \theta _{1}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin {\big (}(2n+1)z{\big )},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z,q)=\vartheta _{10}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\cos {\big (}(2n+1)z{\big )},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z,q)=\vartheta _{00}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2nz),}$

${\displaystyle \theta _{4}(z,q)=\vartheta _{01}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos(2nz),}$

dove ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ e ${\displaystyle \tau }$ appartenente al semipiano superiore complesso, cioè ${\displaystyle \tau }$ è un numero complesso con parte immaginaria positiva, e quindi ${\displaystyle |q|<1}$. Le serie sono convergenti su tutto il piano complesso, cioè per ogni ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$.

L'importanza delle funzioni theta di Jacobi nella teoria delle funzioni ellittiche viene dalla possibilità di esprimere tutte le funzioni ellittiche di Jacobi come rapporto di due funzioni theta (vedi le formule 16.36.3-16.36.7 di Abramowitz e Stegun, e la prova di Whittaker e Watson).

Valori delle funzioni

Per ${\displaystyle z=0,}$ le tre funzioni theta ${\displaystyle \vartheta _{00}(q)}$, ${\displaystyle \vartheta _{01}(q)}$ e ${\displaystyle \vartheta _{10}(q)}$ si possono esprimere nel modo seguente:

${\displaystyle \vartheta _{00}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k^{2}},}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(q)=\vartheta _{00}(-q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{k^{2}},}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{{\big (}k+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}}.}$

Inoltre vale la seguente relazione detta identità di Jacobi:

${\displaystyle \vartheta _{00}(q)^{4}=\vartheta _{10}(q)^{4}+\vartheta _{01}(q)^{4}.}$

Le seguenti formule esprimono la relazione delle funzioni theta con la funzione lambda ellittica:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {w}})=\left(\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {w}})\right)^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}},}$

${\displaystyle \vartheta _{10}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp \left(-(a+{\tfrac {1}{2}})^{2}\pi {\sqrt {w}}\right)=\left(\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} \left((a+{\tfrac {1}{2}})\pi {\sqrt {w}}\right)\right)^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(w)K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}}=2{\sqrt[{4}]{\lambda ^{*}(4w)}}{\sqrt {\pi ^{-1}K{\big (}\lambda ^{*}(4w){\big )}}},}$

${\displaystyle \vartheta _{01}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {w}})={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(1/w)K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}},}$

dove ${\displaystyle K}$ indica l'integrale ellittico completo di prima specie e vale la relazione:

${\displaystyle {\frac {K\left({\sqrt {1-\lambda ^{*}(w)^{2}}}\right)}{K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}}={\sqrt {w}}.}$

Tabella dei valori:

q	ϑ₁₀(q)	ϑ₀₁(q)	ϑ₀₀(q)
exp(-π)	${\displaystyle {\sqrt {G}}}$	${\displaystyle {\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{1/4}{\sqrt {G}}}$
exp(-2π)	${\displaystyle 2^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{1/8}{\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {G}}}$
exp(-3π)	${\displaystyle 2^{-5/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}){\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{-5/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1+{\sqrt[{4}]{12}}){\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}{\sqrt {G}}}$
exp(-4π)	${\displaystyle 2^{-1}({\sqrt[{4}]{2}}-1){\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{-3/16}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{-1}({\sqrt[{4}]{2}}+1){\sqrt {G}}}$
exp(-5π)	${\displaystyle 2^{-3/2}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}{\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{-3/2}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{2}{\sqrt {G}}}$	${\displaystyle 2^{1/4}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {G}}}$

dove ${\displaystyle G}$ indica la costante di Gauss e questa costante è il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Altre relazioni importanti per l'aritmetica:

${\displaystyle \vartheta _{10}(q)^{2}=2\vartheta _{10}(q^{2})\vartheta _{00}(q^{2});}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(q)+\vartheta _{01}(q)=2\vartheta _{00}(q^{4});}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(q^{4})+\vartheta _{10}(q^{4})=\vartheta _{00}(q);}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi /y){\big )}={\sqrt {y}}\,\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi y){\big )};}$

${\displaystyle {\frac {n\vartheta _{00}{\big (}\exp(-n\pi {\sqrt {w}}){\big )}^{2}}{\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2k}{n}}K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )};\lambda ^{*}(w)\right).}$

L'abbreviazione ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ sta per funzione ellittica di Jacobi Delta Amplitudinis.

Somme infinite

Somma infinita dei valori reciproci dei numeri di Fibonacci in posti dispari:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\Phi ^{2n-1}}{\Phi ^{4n-2}+1}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sech} {\big (}(n-{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}){\big )}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}(16\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2})}}K{\big (}\lambda ^{*}(16\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}){\big )}.}$

Somma infinita dei valori reciproci dei quadrati dei numeri di Fibonacci:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{12}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{4}-{\frac {5}{24}}\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}+{\frac {5}{24}}.}$

Bibliografia

• (DE) C. G. J. Jacobi Gesammelte Werke^{[collegamento interrotto]} (Berlin : G. Reimer, 1881-1891)
• E. Pascal Teoria delle funzioni ellittiche (Milano: U. Hoepli 1896) (capitolo 1)
• (EN) H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York: J. Wiley & sons, 1910) (capitolo 10)
• (EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of modern analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitoli 21 e 22).
• (EN) M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) p. 576

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