Lemma di Kronecker

In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. [1] Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

Il lemma

Se ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} è una successione infinita di numeri reali tale che

∑ m = 1 ∞ x m = s {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}

esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ b 3 ≤ … {\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots } e b n → ∞ {\displaystyle b_{n}\to \infty } si ha che

lim n → ∞ 1 b n ∑ k = 1 n b k x k = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}

Dimostrazione

Siano S k {\displaystyle S_{k}} le somma parziali della successione x n {\displaystyle x_{n}} . Usando la sommazione per parti,

1 b n ∑ k = 1 n b k x k = S n − 1 b n ∑ k = 1 n − 1 ( b k + 1 − b k ) S k {\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}

Preso un ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , si sceglie N {\displaystyle N} in modo che | S k − s | < ϵ {\displaystyle |S_{k}-s|<\epsilon } per ogni k > N {\displaystyle k>N} , sempre possibile poiché la successione converge a s {\displaystyle s} . Allora il membro destro è:

S n − 1 b n ∑ k = 1 N − 1 ( b k + 1 − b k ) S k − 1 b n ∑ k = N n − 1 ( b k + 1 − b k ) S k {\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}
= S n − 1 b n ∑ k = 1 N − 1 ( b k + 1 − b k ) S k − 1 b n ∑ k = N n − 1 ( b k + 1 − b k ) s − 1 b n ∑ k = N n − 1 ( b k + 1 − b k ) ( S k − s ) {\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}
= S n − 1 b n ∑ k = 1 N − 1 ( b k + 1 − b k ) S k − b n − b N b n s − 1 b n ∑ k = N n − 1 ( b k + 1 − b k ) ( S k − s ) . {\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}

Ora, facendo tendere n {\displaystyle n} all'infinito, il primo termine tende a s {\displaystyle s} , che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione b {\displaystyle b} è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da ϵ ( b n − b N ) / b n ≤ ϵ {\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon } . Quindi riassumendo, per ogni ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} si può trovare un N {\displaystyle N} tale che

| 1 b n ∑ k = 1 n b k x k | < ϵ {\displaystyle \left|{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}\right|<\epsilon }

per ogni n > N {\displaystyle n>N} , e allora per definizione di limite di una successione si ha che

lim n → ∞ 1 b n ∑ k = 1 n b k x k = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}

Note

  1. ^ Shiryaev, Albert N. (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.

Voci correlate

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