In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.
Definizione
Siano
,
e
tre spazi vettoriali sullo stesso campo
; un operatore bilineare è una funzione:
![{\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765e7d8686379575d25cbe67efb85bbf844855d8)
tale che per ogni
la mappa:
![{\displaystyle v\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ef6353fc31e6886f07822f3411e3302a367f29)
è un operatore lineare da
a
, e per ogni
la mappa:
![{\displaystyle w\mapsto B(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6fd00ae72cc3b6e316c6dc0ff89079aa406c8d)
è un operatore lineare da
a
. In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.
Se
e si ha
per ogni
, allora
è simmetrico.
Nel caso in cui
, si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.
La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo
. È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in
variabili, e il termine appropriato è multilineare.
Nel caso di un anello non commutativo
, un modulo destro
e un modulo sinistro
, possiamo definire un operatore bilineare
, ove
è un gruppo abeliano, tale che per ogni
,
, e per ogni
,
sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:
![{\displaystyle B(mt,n)=B(m,tn)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b40f10efdb855d509045b4727586e512533baa3)
per ogni
.
Proprietà
Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che
ogni volta che
o
. Ciò si prova scrivendo il vettore nullo
come
e spostando lo scalare
"al di fuori", davanti a
, per linearità.
L'insieme
di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da
in
.
Se
sono di dimensione finita, allora lo è anche
. Se
, (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è
(mentre lo spazio
di forme lineari ha dimensione
). Per provarlo, si scelgano una base
per
e una base
per
; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice
data da
, e viceversa (qui
e
denotano rispettivamente l'
-esimo elemento della base
e il
-esimo elemento della base
).
Se
è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente
.
Esempi
- La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare
. - Se in uno spazio vettoriale
sul campo dei numeri reali
definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare
. - In generale, per uno spazio vettoriale
su un campo
, una forma bilineare su
è equivalente a un operatore bilineare
. - Se
è uno spazio vettoriale,
è il suo spazio duale e
, allora l'operatore di applicazioni
è un operatore bilineare da
nel campo di base. - Siano
e
due spazi vettoriali sullo stesso campo
. Se
è un elemento di
e
è un elemento di
, allora
definisce un operatore bilineare
. - Il prodotto vettoriale in
è un operatore bilineare
. - Siano
un operatore bilineare e
un operatore lineare; allora
è un operatore bilineare su
. - La mappa nulla, definita da
per ogni
è l'unica mappa da
in
che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se
e
è una mappa sia lineare che bilineare, allora
(per linearità rispetto alla somma di
) e
(per bilinearità).
Bibliografia
- (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
- (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)
Voci correlate
Collegamenti esterni
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