Paraboloide

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In geometria un paraboloide è una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\ \quad }$ (paraboloide ellittico)

o della forma

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\quad }$ (paraboloide iperbolico).

Dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ rappresentano il grado di curvatura nel piano ${\displaystyle xz}$ e ${\displaystyle yz,}$ mentre ${\displaystyle c}$ rappresenta la direzione di apertura del paraboloide: verso l'alto per ${\displaystyle c>0}$ (per il paraboloide ellittico) e verso il basso lungo l'asse ${\displaystyle x}$ per ${\displaystyle c<0}$ (per il paraboloide iperbolico).

Perché "ellittico" e "iperbolico"?

Il motivo di queste denominazioni è subito chiaro osservando le sezioni orizzontali delle due superfici:

• Paraboloide ellittico:

• Paraboloide iperbolico:

È evidente che nel primo caso la sezione è un'ellisse e nel secondo è un'iperbole. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il sistema tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione ${\displaystyle z=z_{0},}$ dove ${\displaystyle z_{0}}$ è una costante. Se poniamo ad esempio

${\displaystyle z=-{\frac {1}{2}}}$

otteniamo:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

che non è altro che l'equazione dell'ellisse. Variando il valore di ${\displaystyle z}$, ossia variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.

Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la sezione retta è un'iperbole; infatti, ponendo anche in questo caso

${\displaystyle z=-{\frac {1}{2}}}$

abbiamo

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

che è proprio l'equazione di un'iperbole.

Perché "paraboloide"

Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle parabole.

Quando ${\displaystyle a=b,}$ un paraboloide ellittico viene detto paraboloide di rivoluzione, cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata paraboloide circolare.

Hanno la forma del paraboloide di rotazione i riflettori parabolici usati come specchi, come antenne piatte e per analoghi dispositivi, come le antenne paraboliche. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.

Poiché le sorgenti luminose o elettromagnetiche sono così distanti da potere immaginare che i fasci d'onda siano paralleli, se ne deduce che la forma a paraboloide di rotazione permette di "catturare" una maggior quantità di informazione e farla convergere in un unico punto.

Voci correlate

• Ellissoide
• Iperboloide
• Struttura iperboloide

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) paraboloid, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• La più grande cupola a paraboloide ellittico in laterocemento mai realizzata nel mondo. Ing. Gianpiero Castellucci. 1978-1980

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