In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.
Essa è data dalla formula
,
espressione valida per
.
Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.
Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.
Derivazione
La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908d58e860196c61db8f688876e2671bf1c812b0)
In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):
![{\displaystyle 1+t+t^{2}+\ldots +t^{n-1}={\frac {1-t^{n}}{1-t}}\quad |t|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e0299829ecef69483898cc3a882eaea9eac2dc)
la quale fornisce, in ragione
e per
:
![{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f2f06edeb796d04bcc825587e7f5f4b7198c67)
Integriamo i membri da
a
:
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79796fc7ddacefb00a5cb73d9e5b70ad97a9328d)
e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}{\frac {(1+t)^{\prime }}{1+t}}\,dt=\ln {(x+1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95c9a77cabbf605b3e1f84c29344a70fcdccbba)
per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per
, possiamo integrare termine a termine:
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{(1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots )\,dt}=\int _{0}^{x}{dt}\ -\ \int _{0}^{x}{tdt}\ +\ \int _{0}^{x}{t^{2}dt}\ -\ \int _{0}^{x}{t^{3}dt}\ +\ \cdots =x\ -\ {\frac {x^{2}}{2}}\ +\ {\frac {x^{3}}{3}}\ -\ {\frac {x^{4}}{4}}\ +\ \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78527e5163e6398c85a4782c9d27d9bda507ba0d)
Quindi abbiamo ottenuto:
![{\displaystyle x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}=\ln(1+x)\quad {\mbox{ per }}|x|<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e4e8de093d70b2229e7f64804c9698f278c0f8)
Caso particolare
Ponendo
, la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8de4cb1ad95611263e08ddc6dec317b5437770)
Si verifica infatti che la serie
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9c654a726004406b4523c24e0b913592bf800b)
converge uniformemente anche nel punto
(per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione
ammettono lo stesso limite per
, cioè:
![{\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{k}}}=\lim _{x\to 1^{-}}{\ln {(1+x)}}=\ln {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561836938bc26710aeb2fd4c06a754424fd22839)
Questa si può considerare anche caso particolare relativo a
della funzione eta di Dirichlet
.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Serie di Mercator, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Göteborg, p. 10.
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