ウィグナー＝エッカルトの定理

ウィグナー＝エッカルトの定理（ウィグナー＝エッカルトのていり、英語: Wigner–Eckart theorem）とは、量子力学において、角運動量( J , J z {\displaystyle \mathbf {J} ,J_{z}} )の固有状態に対する球面テンソル演算子 T q ( k ) {\displaystyle T_{q}^{(k)}} の行列要素が、次のように物理的因子と幾何学的因子に分離できることをいう。

⟨ α j m | T q ( k ) | α ′ j ′ m ′ ⟩ = ⟨ j ′ m ′ k q | j ′ k j m ⟩ 2 j + 1 ⟨ α j | | T ( k ) | | α ′ j ′ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha jm|T_{q}^{(k)}|\alpha 'j'm'\rangle ={\frac {\langle j'm'kq|j'kjm\rangle }{\sqrt {2j+1}}}\langle \alpha j||T^{(k)}||\alpha 'j'\rangle }

ここで j , j ′ {\displaystyle j,j'} は全角運動量量子数、 m , m ′ {\displaystyle m,m'} は全角運動量のz成分の量子数、 α , α ′ {\displaystyle \alpha ,\alpha '} はそれ以外の量子数である。

⟨ α j | | T ( k ) | | α ′ j ′ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha j||T^{(k)}||\alpha 'j'\rangle } は換算行列要素と呼ばれ、 J z {\displaystyle J_{z}} の固有値 m , m ′ , q {\displaystyle m,m',q} に依存せず、座標軸の取り方などにも依らない。球面テンソルの物理的な情報はすべてこの中に含まれる。

⟨ j ′ m ′ k q | j ′ k j m ⟩ {\displaystyle \langle j'm'kq|j'kjm\rangle } はクレブシュ-ゴルダン係数で、幾何学的な情報はこの中に含まれる。

換算行列要素の定義は様々である。

脚注