ディリクレのディオファントス近似定理

任意の実数 ${\displaystyle \alpha }$ と ${\displaystyle 1}$ より大きい任意の自然数 ${\displaystyle N}$ に対し、分母が ${\displaystyle N}$ 以下の自然数 ${\displaystyle q}$ であるような ${\displaystyle \alpha }$ の近似分数 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ で、${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qN}}}$ を満たすものが存在する。

任意の無理数 ${\displaystyle \beta }$ に対し、${\displaystyle 0<\left|\beta -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$ を満たす無限に多くの有理数 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ が存在する。

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