ベッセルの不等式

数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 ${\displaystyle x}$ の係数に関する不等式である・

${\displaystyle H}$ をヒルベルト空間とし、${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ を ${\displaystyle H}$ 内の正規直交列とする。このとき、${\displaystyle H}$ 内の任意の ${\displaystyle x}$ に対し

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 ${\displaystyle H}$ の内積を表す。

${\displaystyle e_{k}}$ 方向のベクトル ${\displaystyle x}$ の無限和

${\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}$

を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ によって表現される ${\displaystyle x'\in H}$ が存在するものと考えることが出来る。

完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって ${\displaystyle x'}$ は ${\displaystyle x}$ となる）。

ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う：

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}.}$

関連項目

• コーシー＝シュワルツの不等式

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Bessel inequality”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bessel_inequality 
• Bessel's Inequality the article on Bessel's Inequality on MathWorld.