ランダウ分布(英語: Landau distribution[1])はレフ・ランダウにその名をちなむ確率分布。裾が重いため平均や分散、モーメントは定義されていない。この分布は安定分布の特別なケースである。
定義
ランダウにより最初に書かれた確率密度関数は、複素積分により定義される。
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55939e2cb611a7feb9c8891aee0882206d3574e7)
ここでaは任意の正の実数で、積分経路が虚軸と並行で正の実軸と交差することを意味する。
は自然対数である。
次の実数積分は上と等価である。
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debdf9ca2aea4d166ff5dc3e9b0aad891ca78e03)
ランダウ分布の全てのものは、元の分布を特性関数[2]を持つパラメータ
,
[3]の安定分布の位置スケールのものに拡張することによって得られる。
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc23df8f0fe52cb64b968dcfd56b781437d74ac2)
ここで
、
これが密度関数を与える
![{\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb3f3cc5e4b56e146189ca45b331d11274583b3)
の元の形式は
で
である。以下は
と
の場合の
の近似である[4]。
![{\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90bb2c56ac380f462f30cb8911f3773fbc78c4)
関連の分布
のとき
. - ランダウ分布は安定度パラメータ
と歪度パラメータ
がともに1の安定分布である。
脚注
- ^ Landau, L. (1944). “On the energy loss of fast particles by ionization”. J. Phys. (USSR) 8: 201.
- ^ Zolotarev, V.M. (1986). One-dimensional stable distributions. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4519-5
- ^ Gentle, James E. (2003). Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing (2nd ed.). New York, NY: Springer. p. 196. doi:10.1007/b97336. ISBN 978-0-387-00178-4
- ^ Behrens, S. E.; Melissinos, A.C.. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981)