垂心

初等幾何学における垂心（すいしん、英: orthocenter）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。

性質

3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を H_a,H_b,H_c とする。

重心・外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
垂心は三角形H_aH_bH_cの内心か傍心となる。
垂心と外心の中点は九点円の中心である。
三角形ABHの垂心は、Cである。
${\overline {AH}}\cdot {\overline {HH_{a}}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HH_{b}}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HH_{c}}}$
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {AH}{\cos \alpha }}={\frac {BH}{\cos \beta }}={\frac {CH}{\cos \gamma }}=2R$
- a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。
- M は九点円上にある。
- P におけるシムソン線は M を通る。
各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る（右図参照）。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標

座標平面において、3頂点の座標を(x_a,y_a), (x_b,y_b), (x_c,y_c)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

$\left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}-x_{b}x_{c}-y_{a}^{2}&y_{a}&1\\-x_{a}x_{c}-y_{b}^{2}&y_{b}&1\\-x_{a}x_{b}-y_{c}^{2}&y_{c}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&-x_{a}^{2}-y_{b}y_{c}&1\\x_{b}&-x_{b}^{2}-y_{a}y_{c}&1\\x_{c}&-x_{c}^{2}-y_{a}y_{b}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}}\right).$