Criterium van Eisenstein

Het criterium van Eisenstein geeft een voldoende voorwaarde voor de irreducibiliteit van een polynoom met gehele coëfficienten. Polynomen die voldoen aan het criterium, zijn irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen. Het polynoom

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

met gehele coëfficienten is volgens het criterium irreducibel over de rationale getallen, als er een een priemgetal ${\displaystyle p}$ is, zodanig dat

• ${\displaystyle a_{n}}$ niet door ${\displaystyle p}$ kan worden gedeeld,
• alle andere coëfficienten ${\displaystyle a_{i}}$ wel door ${\displaystyle p}$ kunnen worden gedeeld en
• ${\displaystyle a_{0}}$ niet door ${\displaystyle p^{2}}$ kan worden gedeeld.

Het criterium is naar Ferdinand Eisenstein genoemd. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd,^[1] maar werd daarna ook door Eisenstein gebruikt.^[2] Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, niet ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Voorbeelden

• Het polynoom ${\displaystyle 3x^{3}+5x^{2}+15x+10}$ is bijvoorbeeld irreducibel, want de coëfficiënten 5, 15 en 10 kunnen door het priemgetal 5 worden gedeeld, 3 niet en 10 kan niet door 25 worden gedeeld.

• Als ${\displaystyle p}$ een priemgetal is, dan is

${\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1}$

irreducibel.^[3] Het bewijs gaat als volgt

${\displaystyle x^{p}-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1)}$

Na de substitutie van ${\displaystyle x=y+1}$ is deze vergelijking te schrijven met binomiaalcoëfficiënten als:

${\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}={\frac {(y+1)^{p}-1}{y}}=y^{p-1}+\sum _{j=1}^{p-1}{\binom {p}{j}}y^{j-1}}$

De coëfficiënt 1 van de hoogste macht van ${\displaystyle y}$ is hierin niet door ${\displaystyle p}$ te delen, maar alle andere coëfficiënten wel en de constante term ${\displaystyle p}$ kan weer niet door ${\displaystyle p^{2}}$ worden gedeeld. Uit het criterium van Eisenstein volgt nu dat het polynoom in ${\displaystyle y}$ irreducibel is, dus is ook het oorspronkelijke polynoom in ${\displaystyle x}$ irreducibel.

• Indien de gehele getallen worden vervangen door een uniek factorisatiedomein ${\displaystyle D}$, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle p}$ door een priemelement in ${\displaystyle D}$, dan geldt het criterium ook.

Websites

• MathWorld. Eisenstein's Irreducibility Criterion.

Voetnoten

Journal für die reine und angewandte Mathematik wordt afgekort tot Crelle's Journal.