Landaufunctie

In de wiskunde geeft de landaufunctie ${\displaystyle g(n)}$, genoemd naar Edmund Landau, van een natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ de grootste orde (of periode) van een element van de symmetrische groep ${\displaystyle S_{n}.}$

Alternatief kan men definiëren: ${\displaystyle g(n)}$ is de grootste orde van een permutatie van ${\displaystyle n}$ elementen, dit is het maximaal aantal maal dat een permutatie van ${\displaystyle n}$ elementen recursief op zichzelf kan worden toegepast alvorens men de oorspronkelijke volgorde terug bekomt.

Nog een andere formulering is: ${\displaystyle g(n)}$ is het grootste kleinste gemene veelvoud van alle partities van ${\displaystyle n}$ elementen.

Voorbeeld

In de onderstaande tabel staan voor ${\displaystyle n=6}$ de mogelijke partities van het getal 6 en het kleinste gemene veelvoud van de getallen van de partitie.

aantal	partitie	kgv
6	1+1+1+1+1+1	1
5	1+1+1+1+2	2
4	1+1+1+3	3
4	1+1+2+2	2
3	1+1+4	4
3	1+2+3	6
3	2+2+2	2
2	1+5	5
2	2+4	4
2	3+3	3
1	6	6

Het grootste kgv van de getallen in de parties is 6, dus de landaufunctie is ${\displaystyle g(6)=6.}$

De eerste waarden van de landaufunctie zijn:^[1]

${\displaystyle n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
${\displaystyle g(n)}$	1	1	2	3	4	6	6	12	15	20	30	30	60	60	84	105

Deléglise, Nicolas en Zimmermann ontwikkelden een algoritme om de waarde van ${\displaystyle g(n)}$ voor ${\displaystyle n}$ tot 10¹⁵ te berekenen.^[2]

Landau bewees in 1902^[3] dat

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

(hierin is ${\displaystyle \ln }$ de natuurlijke logaritme). Deze verhouding heeft een maximale waarde van ${\displaystyle 1{,}05313\ldots }$ die vermoedelijk bereikt wordt bij ${\displaystyle n=1319166.}$

${\displaystyle \ln(g(n))}$ is een benadering van de grootste priemfactor van ${\displaystyle g(n)}$.^[4]

Men kan ook bewijzen dat:

${\displaystyle g(n)<e^{n/e}}$