Et Hölder-rom er et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner som er Hölder-kontinuerlige i seg selv og sine deriverte. Formelt definerer man en norm over et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner, og definerer et Hölder-rom til å være mengden av alle funksjoner der denne normen er endelig. Hölder-rom brukes innen funksjonalanalyse for å studere partielle differensialligninger.
Definisjon
Hölder-norm
La
, og la
være alle begrensede og kontinuerlige funksjoner
. Definer en norm
![{\displaystyle ||u||_{C^{k}(U)}:=sup_{x\in U}|u(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4438cb1f15b203a9f15e5019c16bc20882a3fc9b)
og en seminorm
.
Da kan man definere Hölder-normen med eksponent
til å være[1]
.
Hölder-rom
Hölder-rommet
består av alle funksjoner
slik at
og normen
![{\displaystyle \|u\|_{C^{k,\gamma }({\overline {U}})}:=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{C(U)}+\sum _{|\alpha |=k}[D^{\alpha }u]_{C^{0,\gamma }(U)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcd4c88c00855cca81130019b9c22e0eadb4175)
er endelig.[1] Her angir
partiellderiverte av orden
, og
en multiindeks
der
i første ledd, og
i andre ledd. Det første leddet tilsvarer at dette er funksjoner som er k ganger kontinuerlig deriverbare. Det andre leddet tilsier at disse k-deriverte er begrensede og Hölder-kontinuerlige med eksponent
.
Egenskaper
- Funksjonsrommet
er et Banach-rom.[1]
Referanser
- ^ a b c Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. s. 256–257. ISBN 978-0-8218-4974-3.
Eksterne lenker
- Hölder space på Encyclopedia of Mathematics
Autoritetsdata