Funkcja Dirichleta
Ten artykuł dotyczy funkcji charakterystycznej zbioru liczb wymiernych. Zobacz też: funkcja η Dirichleta. |
Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość gdy argument jest liczbą wymierną i wartość gdy argument jest liczbą niewymierną[1].
Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzorem[2]
Ponadto[potrzebny przypis]:
Własności
Funkcja Dirichleta ma własności:
- jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna,
- jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
- zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
- nie jest całkowalna w sensie Riemanna[3] – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
- jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, przy czym jej całka Lebesgue’a na dowolnym przedziale jest równa zeru[3], ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue’a zero.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dirichlet Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-26].
- Dirichlet-function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].
- p
- d
- e
odmiany (warunki wystarczające) | |
---|---|
uogólnienia (warunki konieczne) | |
twierdzenia | |
powiązane funkcje |
|
inne powiązane tematy | |
uczeni |
- БРЭ: 1958019
- Catalana: 0022581