Homomorfizm grup

Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[a][b].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[c]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[d] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Definicja

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech G , G ′ {\displaystyle G,G'} będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[e]. Przekształcenie φ : G → G ′ {\displaystyle \varphi \colon G\to G'} nazywa się homomorfizmem grupy G {\displaystyle G} w grupę G ′ , {\displaystyle G',} jeżeli dla każdego a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} zachodzi

φ ( a b ) = φ ( a ) ⋅ φ ( b ) . {\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\cdot \varphi (b).}

Działanie homomorfizmu φ {\displaystyle \varphi } na elemencie a , {\displaystyle a,} zwyczajowo zapisywane φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} lub po prostu φ a , {\displaystyle \varphi a,} bywa w niektórych monografiach odwracane: a φ ; {\displaystyle a\varphi ;} można również spotkać się z oznaczeniem a φ . {\displaystyle a^{\varphi }.} Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się ( a b ) φ = a φ ⋅ b φ {\displaystyle (ab)\varphi =a\varphi \cdot b\varphi } lub a b φ = a φ ⋅ b φ , {\displaystyle ab^{\varphi }=a^{\varphi }\cdot b^{\varphi },} przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. ( a + b ) φ = a φ + b φ {\displaystyle (a+b)\varphi =a\varphi +b\varphi } zamiast φ ( a + b ) = φ ( a ) + φ ( b ) {\displaystyle \varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)} [f].

Własności

Homomorfizmy

 Zobacz też: homomorfizm, element neutralny, element odwrotny i rząd.

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech a ∈ G , {\displaystyle a\in G,} wtedy zachodzą następujące własności:

  • zachowywanie elementu neutralnego[g]
    φ ( 1 ) = 1 ′ , {\displaystyle \varphi (1)=1',}
  • zachowywanie elementu odwrotnego[h]
    φ ( a − 1 ) = φ ( a ) − 1 . {\displaystyle \varphi \left(a^{-1}\right)=\varphi (a)^{-1}.}

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[i][j][k],

φ ( a n ) = φ ( a ) n , {\displaystyle \varphi \left(a^{n}\right)=\varphi (a)^{n},}

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[l] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

o r d ( φ ( a ) ) | o r d ( a ) . {\displaystyle \mathrm {ord} (\varphi (a)){\big |}\mathrm {ord} (a).}

Inne morfizmy

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm φ : G → G . {\displaystyle \varphi \colon G\to G.} Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm φ : G → G ′ , {\displaystyle \varphi \colon G\to G',} dla którego istnieje homomorfizm odwrotny ψ : G ′ → G , {\displaystyle \psi \colon G'\to G,} czyli spełniający tożsamość ψ ∘ φ = φ ∘ ψ = ı , {\displaystyle \psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi =\imath ,} gdzie ı {\displaystyle \imath } jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[m], nazywa się izomorfizmem. Grupy G , G ′ {\displaystyle G,G'} dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza G ≃ G ′ ; {\displaystyle G\simeq G';} relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[n]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm φ − 1 {\displaystyle \varphi ^{-1}} odwrotny do izomorfizmu φ {\displaystyle \varphi } również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy G {\displaystyle G} tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie ∘ , {\displaystyle \circ ,} a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy ı . {\displaystyle \imath .}

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obraz

 Zobacz też: jądro i obraz.

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu φ {\displaystyle \varphi } definiuje się odpowiednio jako zbiory

ker ⁡ φ = { a ∈ G : φ ( a ) = 1 ′ } = φ − 1 [ 1 ′ ] {\displaystyle \ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=1'{\big \}}=\varphi ^{-1}{\big [}1'{\big ]}}

oraz

i m φ = { φ ( a ) ∈ G ′ : a ∈ G } = φ [ G ] , {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}=\varphi [G],}

gdzie φ [   ] {\displaystyle \varphi [\ ]} i φ − 1 [   ] {\displaystyle \varphi ^{-1}[\ ]} oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu φ . {\displaystyle \varphi .} Obraz i m φ {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi } jest podgrupą w G ′ , {\displaystyle G',} a jądro ker ⁡ φ {\displaystyle \ker \varphi } jest podgrupą normalną[o] w G ; {\displaystyle G;} odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm φ , {\displaystyle \varphi ,} który ma trywialne jądro, ker ⁡ φ = { 1 ′ } ; {\displaystyle \ker \varphi =\{1'\};} z kolei epimorfizm to homomorfizm φ , {\displaystyle \varphi ,} którego obraz jest całą przeciwdziedziną, im φ = G ′ . {\displaystyle \operatorname {im} \;\varphi =G'.} Izomorfizm φ {\displaystyle \varphi } definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

Faktoryzacja

 Zobacz też: grupa ilorazowa, twierdzenie o homomorfizmie i twierdzenie o izomorfizmie.

Podgrupa normalna N {\displaystyle N} wyznacza jednoznacznie podział G {\displaystyle G} na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową G / N {\displaystyle G/N} grupy G {\displaystyle G} przez N ; {\displaystyle N;} przekształcenie rzutowe π : G → G / N {\displaystyle \pi \colon G\to G/N} grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm ψ : G / N → G ′ {\displaystyle \psi \colon G/N\to G'} spełniający ψ ∘ π = φ ; {\displaystyle \psi \circ \pi =\varphi ;} z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między G / N {\displaystyle G/N} a i m φ . {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi .} Grupę G / ker ⁡ φ {\displaystyle G/\ker \varphi } nazywa się niekiedy koobrazem φ , {\displaystyle \varphi ,} z kolei jeżeli i m φ {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi } jest podgrupą normalną w G ′ , {\displaystyle G',} to G ′ / i m φ {\displaystyle G'/\mathrm {im} \;\varphi } nazywa się kojądrem φ . {\displaystyle \varphi .}

Działania

Niech M a p ( G , G ′ ) {\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')} oznacza zbiór wszystkich przekształceń G → G ′ . {\displaystyle G\to G'.} Dla dwóch przekształceń φ , ψ ∈ M a p ( G , G ′ ) {\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G,G')} można określić punktowo działanie ich dodawania φ + ψ {\displaystyle \varphi +\psi } wzorem[p]

( φ + ψ ) ( a ) = φ ( a ) ⋅ ψ ( a ) {\displaystyle (\varphi +\psi )(a)=\varphi (a)\cdot \psi (a)}

dla wszystkich a ∈ G , {\displaystyle a\in G,} które jest łączne (własność odziedziczona z grupy G ′ {\displaystyle G'} ). Homomorfizm zerowy θ ∈ H o m ( G , G ′ ) {\displaystyle \theta \in \mathrm {Hom} (G,G')} (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego φ ∈ H o m ( G , G ′ ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')} istnieje element przeciwny − φ ∈ H o m ( G , G ′ ) {\displaystyle -\varphi \in \mathrm {Hom} (G,G')} dany wzorem[q] ( − φ ) ( a ) = φ ( a ) − 1 {\displaystyle (-\varphi )(a)=\varphi (a)^{-1}} [r]. Innymi słowy M a p ( G , G ′ ) {\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')} tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli G ′ {\displaystyle G'} jest przemienna[s].

Niech M a p ( G ) = M a p ( G , G ) {\displaystyle \mathrm {Map} (G)=\mathrm {Map} (G,G)} oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy G {\displaystyle G} w siebie, wówczas S y m ( G ) {\displaystyle \mathrm {Sym} (G)} oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje G , {\displaystyle G,} czyli przekształcenia odwracalne należące do M a p ( G ) . {\displaystyle \mathrm {Map} (G).} Dodawanie przekształceń G {\displaystyle G} w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli φ , ψ , σ ∈ M a p ( G ) , {\displaystyle \varphi ,\psi ,\sigma \in \mathrm {Map} (G),} to

( φ + ψ ) ∘ σ = φ ∘ σ + ψ ∘ σ , {\displaystyle (\varphi +\psi )\circ \sigma =\varphi \circ \sigma +\psi \circ \sigma ,}

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. σ ∘ ( φ + ψ ) = σ ∘ φ + σ ∘ ψ . {\displaystyle \sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .} Strukturę określoną na zbiór M a p ( G ) {\displaystyle \mathrm {Map} (G)} z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego ı ∈ M a p ( G ) . {\displaystyle \imath \in \mathrm {Map} (G).}

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych G → G ′ {\displaystyle G\to G'} będącą podzbiorem M a p ( G , G ′ ) {\displaystyle \mathrm {Map} (G,G')} oznacza się symbolem H o m ( G , G ′ ) ; {\displaystyle \mathrm {Hom} (G,G');} z kolei zbiór H o m ( G , G ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (G,G)} endomorfizmów grupy G {\displaystyle G} oznacza się E n d ( G ) . {\displaystyle \mathrm {End} (G).} Ponieważ dla φ , ψ ∈ E n d ( G ) {\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {End} (G)} ich złożenie φ ∘ ψ ∈ E n d ( G ) , {\displaystyle \varphi \circ \psi \in \mathrm {End} (G),} to E n d ( G ) {\displaystyle \mathrm {End} (G)} jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) M a p ( G ) ; {\displaystyle \mathrm {Map} (G);} mimo wszystko φ + ψ {\displaystyle \varphi +\psi } nie musi należeć do E n d ( G ) , {\displaystyle \mathrm {End} (G),} jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element i m φ {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi } jest przemienny z dowolnym elementem i m ψ {\displaystyle \mathrm {im} \;\psi } [t], co więcej φ + ψ = ψ + φ {\displaystyle \varphi +\psi =\psi +\varphi } [u].

Jeśli φ , ψ ∈ M a p ( G ) , {\displaystyle \varphi ,\psi \in \mathrm {Map} (G),} zaś σ ∈ E n d ( G ) , {\displaystyle \sigma \in \mathrm {End} (G),} to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[v],

σ ∘ ( φ + ψ ) = σ ∘ φ + σ ∘ ψ . {\displaystyle \sigma \circ (\varphi +\psi )=\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi .}

Gdy G {\displaystyle G} jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że E n d ( G ) {\displaystyle \mathrm {End} (G)} ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy G . {\displaystyle G.} Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli ı + ı ∈ E n d ( G ) , {\displaystyle \imath +\imath \in \mathrm {End} (G),} to z powyższego wynika, że G {\displaystyle G} jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli α ∈ H o m ( A , B ) {\displaystyle \alpha \in \mathrm {Hom} (A,B)} oraz β , γ ∈ H o m ( B , C ) {\displaystyle \beta ,\gamma \in \mathrm {Hom} (B,C)} i δ ∈ H o m ( C , D ) {\displaystyle \delta \in \mathrm {Hom} (C,D)} są homomorfizmami grup abelowych A , B , C , D , {\displaystyle A,B,C,D,} to ( β + γ ) ∘ α = β ∘ γ + γ ∘ α {\displaystyle (\beta +\gamma )\circ \alpha =\beta \circ \gamma +\gamma \circ \alpha } oraz δ ∘ ( β + γ ) = δ ∘ β + δ ∘ γ . {\displaystyle \delta \circ (\beta +\gamma )=\delta \circ \beta +\delta \circ \gamma .} Wynika stąd, że kategoria A b {\displaystyle \mathbf {Ab} } wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[w]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to A b {\displaystyle \mathbf {Ab} } jest kategorią abelową[1]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

Niezmienniczość

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w E n d ( G ) {\displaystyle \mathrm {End} (G)} nazywa się grupą automorfizmów A u t ( G ) {\displaystyle \mathrm {Aut} (G)} grupy G {\displaystyle G} [x]. Przekształcenie φ : G → A u t ( G ) {\displaystyle \varphi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)} grupy G {\displaystyle G} w grupę jej automorfizmów dane wzorem φ ( a ) = φ a , {\displaystyle \varphi (a)=\varphi _{a},} gdzie automorfizm φ a {\displaystyle \varphi _{a}} jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. φ a ( g ) = a g a − 1 {\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}} dla dowolnego g ∈ G , {\displaystyle g\in G,} jest homomorfizmem grup, ponieważ[y]

φ ( a b ) = φ a b = φ a ∘ φ b = φ ( a ) ∘ φ ( b ) . {\displaystyle \varphi (ab)=\varphi _{ab}=\varphi _{a}\circ \varphi _{b}=\varphi (a)\circ \varphi (b).}

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

ker ⁡ φ = { a ∈ G : φ ( a ) = ı } = { a ∈ G : φ a ( g ) = a g a − 1 = g  dla  g ∈ G } {\displaystyle \ker \varphi ={\big \{}a\in G\colon \varphi (a)=\imath {\big \}}={\big \{}a\in G\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}=g{\text{ dla }}g\in G{\big \}}}

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum Z ( G ) = { a ∈ G : a g = g a   d l a   g ∈ G } {\displaystyle \mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ag=ga\mathrm {\ dla\ } g\in G\}} grupy G ; {\displaystyle G;} obrazem jest z kolei

i m φ = { φ ( a ) ∈ G ′ : a ∈ G } = { φ a ∈ G ′ : φ a ( g ) = a g a − 1  dla  a , g ∈ G } , {\displaystyle \mathrm {im} \;\varphi ={\big \{}\varphi (a)\in G'\colon a\in G{\big \}}={\big \{}\varphi _{a}\in G'\colon \varphi _{a}(g)=aga^{-1}{\text{ dla }}a,g\in G{\big \}},}

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych I n n ( G ) ; {\displaystyle \mathrm {Inn} (G);} automorfizmy te tworzą podgrupę w A u t ( G ) , {\displaystyle \mathrm {Aut} (G),} która jest normalna – grupę ilorazową O u t ( G ) = A u t ( G ) / I n n ( G ) {\displaystyle \mathrm {Out} (G)=\mathrm {Aut} (G)/\mathrm {Inn} (G)} nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli φ ( H ) {\displaystyle \varphi (H)} jest podgrupą w H {\displaystyle H} dla dowolnego φ ∈ E n d ( G ) ; {\displaystyle \varphi \in \mathrm {End} (G);} jeżeli H {\displaystyle H} spełnia ten sam warunek dla dowolnego φ ∈ A u t ( G ) , {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Aut} (G),} to nazywa się ją charakterystyczną[z], jeśli dla H {\displaystyle H} zachodzi φ ∈ I n n ( G ) , {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Inn} (G),} to jest ona normalna[aa]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Przykłady

Homomorfizm θ : G → G ′ {\displaystyle \theta \colon G\to G'} dany wzorem θ ( a ) = 1 ′ {\displaystyle \theta (a)=1'} dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w G ′ . {\displaystyle G'.} Odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy G {\displaystyle G} jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, gdyż homomorfizmy zachowują potęgę elementu): dowolny element a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} rzędu większego niż 1 {\displaystyle 1} jest przekształcany przez θ {\displaystyle \theta } na element 1 ′ {\displaystyle 1'} rzędu 1. {\displaystyle 1.}

Homomorfizm ı : G → G {\displaystyle \imath \colon G\to G} zdefiniowany jako ı ( a ) = a {\displaystyle \imath (a)=a} dla każdego a ∈ G {\displaystyle a\in G} jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy G . {\displaystyle G.} Jest on nazywany identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie G {\displaystyle G} rzędu większego niż 2 {\displaystyle 2} istnieje różny od ı {\displaystyle \imath } automorfizm: jeśli G {\displaystyle G} jest przemienna (abelowa), to jest nim ȷ : a ↦ a − 1 {\displaystyle \jmath \colon a\mapsto a^{-1}} dla a ∈ G {\displaystyle a\in G} [ab], w grupie nieprzemiennej można wybrać element a ∈ Z ( G ) {\displaystyle a\in \mathrm {Z} (G)} należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny φ a {\displaystyle \varphi _{a}} jest nietrywialny.

Niech R × {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }} będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej |   | : R × → R × {\displaystyle |\ |\colon \mathbb {R} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }} przypisujące r ↦ | r | {\displaystyle r\mapsto |r|} jest endomorfizmem, którego obraz R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie x ↦ x 2 {\displaystyle x\mapsto x^{2}} również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}} (izomorficzna z Z 2 = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}} z działaniem dodawania modulo 2 , {\displaystyle 2,} braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza exp : R + → R × {\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{\times }} jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, exp ⁡ ( a + b ) = exp ⁡ ( a ) exp ⁡ ( b ) , {\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),} którego jądrem jest zbiór { 1 } , {\displaystyle \{1\},} a obrazem jest zbiór R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} dodatnich liczb rzeczywistych ( exp {\displaystyle \exp } jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm exp : R + → R + × {\displaystyle \exp \colon R^{+}\to R_{+}^{\times }} w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja f : R + → S 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathrm {S} ^{1}} dana wzorem t ↦ e 2 π i t {\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}} jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[ac], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, A u t ( V 4 ) ≃ S 3 . {\displaystyle \mathrm {Aut} (V_{4})\simeq S_{3}.} Grupa V 4 {\displaystyle V_{4}} jest jedyną grupą G {\displaystyle G} rzędu większego niż 3 , {\displaystyle 3,} dla której A u t ( G ) {\displaystyle \mathrm {Aut} (G)} składa się ze wszystkich bijekcji φ 1 : G → G {\displaystyle \varphi _{1}\colon G\to G} zachowujących jedynkę grupy[ad]. Pierścień E n d ( V 4 ) {\displaystyle \mathrm {End} (V_{4})} grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem M a t 2 × 2 ( Z 2 ) {\displaystyle \mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {Z} _{2})} macierzy typu 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} nad Z 2 ≃ Z / 2 Z . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup G r , {\displaystyle \mathbf {Gr} ,} dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
  2. ↑ Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
  3. ↑ Dla grupy G {\displaystyle G} są to odpowiednio homomorfizmy G → A u t ( G ) , {\displaystyle G\to \mathrm {Aut} (G),} G → S y m ( G ) {\displaystyle G\to \mathrm {Sym} (G)} oraz G → S y m ( X ) {\displaystyle G\to \mathrm {Sym} (X)} dla pewnego zbioru X {\displaystyle X} (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru Ω {\displaystyle \Omega } i grupy G {\displaystyle G} jako homomorfizm Ω → E n d ( G ) {\displaystyle \Omega \to \mathrm {End} (G)} (zob. Niezmienniczość).
  4. ↑ Mają one postać G → A u t ( G ′ ) {\displaystyle G\to \mathrm {Aut} (G')} dla grup G , G ′ . {\displaystyle G,G'.}
  5. ↑ Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
  6. ↑ Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli ( φ ∘ ψ ) ( a ) = ψ ( φ ( a ) ) ; {\displaystyle (\varphi \circ \psi )(a)=\psi {\big (}\varphi (a){\big )};} wtedy a φ ψ {\displaystyle a\varphi \psi } oznacza a ( φ ∘ ψ ) = ( ( a ) φ ) ψ . {\displaystyle a(\varphi \circ \psi )={\big (}(a)\varphi {\big )}\psi .} W tym artykule φ ∘ ψ {\displaystyle \varphi \circ \psi } oznacza przyłożenie funkcji ψ , {\displaystyle \psi ,} a następnie φ , {\displaystyle \varphi ,} czyli ( φ ∘ ψ ) ( a ) = φ ( ψ ( a ) ) . {\displaystyle (\varphi \circ \psi )(a)=\varphi {\big (}\psi (a){\big )}.}
  7. ↑ Własność wynika z równości φ ( 1 ) = φ ( 1 ⋅ 1 ) = φ ( 1 ) ⋅ φ ( 1 ) {\displaystyle \varphi (1)=\varphi (1\cdot 1)=\varphi (1)\cdot \varphi (1)} (pierwsza kropka oznacza działanie w G {\displaystyle G} ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do φ ( 1 ) . {\displaystyle \varphi (1).}
  8. ↑ Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest 1 ′ = φ ( 1 ) = φ ( a a − 1 ) = φ ( a ) ⋅ φ ( a − 1 ) , {\displaystyle 1'=\varphi (1)=\varphi \left(aa^{-1}\right)=\varphi (a)\cdot \varphi \left(a^{-1}\right),} co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} daje żądaną własność.
  9. ↑ Dowodząc indukcyjnie: przypadek n = 1 {\displaystyle n=1} jest trywialny; jeżeli φ ( a n − 1 ) = φ ( a ) n − 1 , {\displaystyle \varphi \left(a^{n-1}\right)=\varphi (a)^{n-1},} to φ ( a n ) = φ ( a n − 1 a ) = φ ( a n − 1 ) ⋅ φ ( a ) = φ ( a ) n − 1 ⋅ φ ( a ) = φ ( a ) n . {\displaystyle \varphi \left(a^{n}\right)=\varphi \left(a^{n-1}a\right)=\varphi \left(a^{n-1}\right)\cdot \varphi (a)=\varphi (a)^{n-1}\cdot \varphi (a)=\varphi (a)^{n}.}
  10. ↑ W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że n ∈ Z . {\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}
  11. ↑ W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: φ ( n a ) = n φ ( a ) {\displaystyle \varphi (na)=n\varphi (a)} dla n ∈ Z , {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,} co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -modułów.
  12. ↑ Jeżeli o r d ( a ) = n , {\displaystyle \mathrm {ord} (a)=n,} to n {\displaystyle n} jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą a n = 1 , {\displaystyle a^{n}=1,} zatem na mocy powyższej własności φ ( a ) n = φ ( a n ) = φ ( 1 ) = 1 ′ , {\displaystyle \varphi (a)^{n}=\varphi \left(a^{n}\right)=\varphi (1)=1',} co daje tylko podzielność o r d ( φ ( a ) ) {\displaystyle \mathrm {ord} {\big (}\varphi (a){\big )}} przez n . {\displaystyle n.}
  13. ↑ Innymi słowy dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} musi zachodzić ψ ( φ ( a ) ) = a {\displaystyle \psi {\big (}\varphi (a){\big )}=a} oraz dla dowolnego a ′ ∈ G ′ {\displaystyle a'\in G'} musi zachodzić φ ( ψ ( a ′ ) ) = a ′ . {\displaystyle \varphi {\big (}\psi (a'){\big )}=a'.}
  14. ↑ Wyróżnia się również tzw. G {\displaystyle G} -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa G {\displaystyle G} działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
  15. ↑ Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
  16. ↑ Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej: a φ + ψ = a φ ⋅ a ψ . {\displaystyle a^{\varphi +\psi }=a^{\varphi }\cdot a^{\psi }.}
  17. ↑ W notacji potęgowej: a − φ = ( a φ ) − 1 . {\displaystyle a^{-\varphi }=(a^{\varphi })^{-1}.}
  18. ↑ Tzn. spełnia on φ + ( − φ ) = θ , {\displaystyle \varphi +(-\varphi )=\theta ,} tj. ( φ + ( − φ ) ) ( a ) = φ ( a ) ⋅ ( − φ ) ( a ) = 1 ′ , {\displaystyle {\big (}\varphi +(-\varphi ){\big )}(a)=\varphi (a)\cdot (-\varphi )(a)=1',} skąd ( − φ ) ( a ) = φ ( a ) − 1 {\displaystyle (-\varphi )(a)=\varphi (a)^{-1}} dla każdego a ∈ G . {\displaystyle a\in G.}
  19. ↑ W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: ( φ + ψ ) ( a ) = φ ( a ) + ψ ( a ) , {\displaystyle (\varphi +\psi )(a)=\varphi (a)+\psi (a),} czy ( − φ ) ( a ) = − φ ( a ) {\displaystyle (-\varphi )(a)=-\varphi (a)} dla a ∈ G . {\displaystyle a\in G.}
  20. ↑ Równanie ( φ + ψ ) ( a + b ) = ( φ + ψ ) ( a ) ⋅ ( φ + ψ ) ( b ) {\displaystyle (\varphi +\psi )(a+b)=(\varphi +\psi )(a)\cdot (\varphi +\psi )(b)} jest równoważne φ ( b ) ⋅ ψ ( a ) = ψ ( a ) ⋅ φ ( b ) . {\displaystyle \varphi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)\cdot \varphi (b).}
  21. ↑ Podstawiając a = b {\displaystyle a=b} w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się ( φ + ψ ) ( a ) = φ ( a ) + ψ ( a ) = φ ( a ) ⋅ ψ ( a ) = ψ ( a ) ⋅ φ ( a ) = ψ ( a ) + φ ( a ) = ( ψ + φ ) ( a ) {\displaystyle (\varphi +\psi )(a)=\varphi (a)+\psi (a)=\varphi (a)\cdot \psi (a)=\psi (a)\cdot \varphi (a)=\psi (a)+\varphi (a)=(\psi +\varphi )(a)} dla każdego a ∈ G . {\displaystyle a\in G.}
  22. ↑ Dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} zachodzi ( σ ∘ ( φ + ψ ) ) ( a ) = σ ( ( φ + ψ ) ( a ) ) = σ ( φ ( a ) ⋅ ψ ( a ) ) = σ ( φ ( a ) ) ⋅ σ ( ψ ( a ) ) = ( σ ∘ φ ) ( a ) ⋅ ( σ ∘ ψ ) ( a ) = ( σ ∘ φ + σ ∘ ψ ) ( a ) , {\displaystyle {\big (}\sigma \circ (\varphi +\psi ){\big )}(a)=\sigma {\big (}(\varphi +\psi )(a){\big )}=\sigma {\big (}\varphi (a)\cdot \psi (a){\big )}=\sigma {\big (}\varphi (a){\big )}\cdot \sigma {\big (}\psi (a){\big )}=(\sigma \circ \varphi )(a)\cdot (\sigma \circ \psi )(a)=(\sigma \circ \varphi +\sigma \circ \psi )(a),} przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż σ ∈ E n d ( G ) . {\displaystyle \sigma \in \mathrm {End} (G).}
  23. ↑ W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
  24. ↑ Elementem odwrotnym do φ ψ ∈ A u t ( G ) {\displaystyle \varphi \psi \in \mathrm {Aut} (G)} jest ψ − 1 φ − 1 . {\displaystyle \psi ^{-1}\varphi ^{-1}.}
  25. ↑ Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji φ , {\displaystyle \varphi ,} druga jest prawdziwa na mocy równości φ a b ( g ) = ( a b ) g ( a b ) − 1 = a ( b g b − 1 ) a − 1 = φ a ( φ b ( g ) ) = ( φ a ∘ φ b ) ( g ) {\displaystyle \varphi _{ab}(g)=(ab)g(ab)^{-1}=a\left(bgb^{-1}\right)a^{-1}=\varphi _{a}{\big (}\varphi _{b}(g){\big )}=(\varphi _{a}\circ \varphi _{b})(g)} dla dowolnego g ∈ G {\displaystyle g\in G} (dowód drugiej równości, zob. grupa).
  26. ↑ W istocie jeżeli H {\displaystyle H} jest charakterystyczna w G , {\displaystyle G,} to φ ( H ) {\displaystyle \varphi (H)} musi być równa H , {\displaystyle H,} gdyż φ ( H ) , {\displaystyle \varphi (H),} jak i φ − 1 ( H ) {\displaystyle \varphi ^{-1}(H)} muszą być podgrupami H , {\displaystyle H,} przy czym drugi warunek oznacza, że H {\displaystyle H} jest podgrupą φ ( H ) . {\displaystyle \varphi (H).}
  27. ↑ Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być φ a ( H ) = H {\displaystyle \varphi _{a}(H)=H} dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego φ a {\displaystyle \varphi _{a}} wyznaczanego przez a ∈ G . {\displaystyle a\in G.}
  28. ↑ Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu 1 , {\displaystyle 1,} czyli trywialnej, jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu 2 {\displaystyle 2} oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie.
  29. ↑ W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja f {\displaystyle f} jest rozwiązaniem równania f ′ = 2 π i f . {\displaystyle f'=2\pi if.} Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych). W tym kontekście powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm f {\displaystyle f} jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). Badanie homomorfizmów grup topologicznych, jak się okazuje, ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
  30. ↑ Jeżeli G {\displaystyle G} ma rząd większy niż 4 , {\displaystyle 4,} zaś a , b , a b , c {\displaystyle a,b,ab,c} są różnymi jej elementami G ∗ = G ∖ { 1 } , {\displaystyle G^{*}=G\smallsetminus \{1\},} to istnieje bijekcja zbioru G ∗ , {\displaystyle G^{*},} dla której a ↦ a , {\displaystyle a\mapsto a,} b ↦ b , {\displaystyle b\mapsto b,} a b ↦ c ; {\displaystyle ab\mapsto c;} nie może być ona zawężeniem do G ∗ {\displaystyle G^{*}} żadnego automorfizmu G . {\displaystyle G.} Jeżeli G ≄ V 4 {\displaystyle G\not \simeq V_{4}} jest rzędu 4 , {\displaystyle 4,} to G ≃ Z 4 {\displaystyle G\simeq \mathbb {Z} _{4}} jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.

Przypisy

Bibliografia

  • p
  • d
  • e
odmiany zdefiniowane
ogólnymi własnościami
odmiany dla
konkretnych struktur
powiązane tematy