Monadyczna algebra Boole’a – algebra Boole’a z dodatkowym działaniem jednoargumentowym
które spełnia pewne warunki naśladujące własności kwantyfikatora egzystencjalnego.
Definicja
Monadyczna algebra Boole’a to struktura algebraiczna
taka, że:
jest algebrą Boole’a, - funkcja
spełnia następujące warunki dla wszystkich
![{\displaystyle \exists 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433d49ad3686397d8f7441192d65e867b41c960)
![{\displaystyle p\leqslant \exists p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7319db98b3eadebb804acd0038bbd3911d766b51)
![{\displaystyle \exists (p\land \exists q)=(\exists p)\land (\exists q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428e55288debebd1c9358e3118d4467e41dcf48c)
Pojęcie monadycznych algebr Boole’a pierwszy wprowadził Paul Halmos. Według niego motywacją do badań tych algebr było pragnienie lepszego rozumienia pewnych aspektów logiki matematycznej.
Elementy domknięte
Operacja
jest idempotentna: dla każdego
zachodzi
ponieważ
Elementy
spełniające
(innymi słowy wartości funkcji
) nazywa się elementami domkniętymi. Zbiór elementów domkniętych jest podalgebrą Boole’a algebry
Zbiór elementów domkniętych zawiera pełną informację o funkcji
dlatego możliwe jest jej odtworzenie na podstawie tego zbioru: niech
wtedy
Przykłady
∃p = 1
Niech
będzie algebrą Boole’a. Funkcja
zdefiniowana wzorem
dla każdego ![{\displaystyle p\in B\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216b271dbcfc91ed010674fbf4a740d3d627ead7)
umożliwia określenie monadycznej algebry Boole’a
∃p = p
Niech
będzie algebrą Boole’a. Funkcja
zdana wzorem
dla każdego ![{\displaystyle p\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9667526cc706fea40d816f40349a48ca47fa339)
tworzy wraz z
monadyczną algebrę Boole’a
Funkcyjne monadyczne algebry Boole’a
Niech
będzie zupełną algebrą Boole’a i niech
będzie dowolnym zbiorem niepustym. Rodzina
wszystkich funkcji
z działaniami określonymi punktowo jest również zupełną algebrą Boole’a.
Dla każdego
istnieje
Niech
oznacza funkcję stałą o wartości
Wtedy
z powyższym działaniem
jest zupełną monadyczną algebrą Boole’a.
- Uogólnienie
- Niech
będzie dowolną algebrą Boole’a, a
dowolnym zbiorem niepustym. Niech
będzie podzbiorem zbioru
wszystkich funkcji
takim, że spełnione są następujące warunki:
(z działaniami określonymi punktowo) jest algebrą Boole’a (w szczególności funkcje stałe
i
należą do
); - dla każdej funkcji
istnieje kres górny zbioru ![{\displaystyle \left\{p(i)\colon i\in I\right\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617e67f8f89d60df1825c4726c4307892ea0a8b3)
- jeśli
i
to również funkcja stała o wartości
należy do zbioru
Funkcję tę oznacza się ![{\displaystyle \exists p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735003c22af087f2e4c80f5b329d5d73f3c21601)
- Wówczas
jest monadyczną algebrą Boole’a. Takie monadyczne algebry Boole’a nazywa się funkcyjnymi monadycznymi algebrami Boole’a (określonymi na I o wartościach w zbiorze
).
Twierdzenie Halmosa o reprezentacji monadycznych algebr Boole’a
Paul Halmos udowodnił, że każda monadyczna algebra Boole’a jest izomorficzna z funkcyjną monadyczną algebrą Boole’a.
Bibliografia
- Paul Halmos, Algebraic Logic. Chelsea Publishing Co., New York 1962.