Nierówność Jensena

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in [0,1],}$ nazywanych wagami, spełniających warunek:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=1,}$

dla dowolnego przedziału ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} ,}$ dowolnych liczb

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in P}$

i dowolnej funkcji ${\displaystyle f}$ wypukłej w ${\displaystyle P,}$ prawdziwa jest nierówność^[1]:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}).}$

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód

Dowód indukcyjny ze względu na ${\displaystyle n.}$

Dla ${\displaystyle n=1}$ nierówność jest oczywista. Dla ${\displaystyle n=2}$ uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech ${\displaystyle n\geqslant 2.}$ Założenie indukcyjne jest następujące:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle x_{i}}$ należą do przedziału ${\displaystyle P}$ oraz ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=1.}$

Teza indukcyjna to:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n+1}b_{i}f(x_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle x_{i}}$ należą do przedziału ${\displaystyle P}$ oraz ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n+1}=1.}$

Niech ${\displaystyle x_{i}\in P}$ oraz ${\displaystyle b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n+1}=1.}$ Bez straty ogólności można założyć, że ${\displaystyle b_{n+1}\neq 0.}$ Wówczas:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}x_{i}\right)=f\left(b_{1}x_{1}+\dots +b_{n+1}x_{n+1}\right)=}$

${\displaystyle =f\left(b_{1}x_{1}+\dots +b_{n-1}x_{n-1}+(b_{n}+b_{n+1})({\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n}+{\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n+1})\right)\leqslant }$

Korzystając z założenia indukcyjnego:

${\displaystyle \leqslant b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+(b_{n}+b_{n+1})f({\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n}+{\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}x_{n+1})\leqslant }$

Z definicji funkcji wypukłej:

${\displaystyle \leqslant b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+(b_{n}+b_{n+1}){\tfrac {b_{n}}{b_{n}+b_{n+1}}}f(x_{n})+(b_{n}+b_{n+1}){\tfrac {b_{n+1}}{b_{n}+b_{n+1}}}f(x_{n+1})}$

${\displaystyle =b_{1}f(x_{1})+\dots +b_{n-1}f(x_{n-1})+b_{n}f(x_{n})+b_{n+1}f(x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}f(x_{i}),}$

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy ${\displaystyle f}$ jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że ${\displaystyle -f}$ jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

${\displaystyle (-f)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}(-f)(x_{i}),}$

co jest równoważne nierówności

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)\geqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}f(x_{i}).}$

Uwagi

• W szczególności dla ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=1/n}$ nierówność przyjmuje postać:

  ${\displaystyle f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\leqslant {\frac {\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}{n}}.}$

• Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa

Niech ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będzie funkcją wypukłą, ${\displaystyle X}$ będzie zmienną losową, oraz ${\displaystyle f,\ f(X)}$ będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

• ${\displaystyle f{\big (}\mathbb {E} (X){\big )}\leqslant \mathbb {E} {\big (}f(X){\big )}.}$

Jeżeli ponadto ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:

• ${\displaystyle f{\big (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\big )}\leqslant \mathbb {E} {\big (}f(X){\big |}{\mathcal {G}}{\big )}.}$

Zobacz też

• nierówność
• równanie funkcyjne Jensena

Przypisy

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 263. ISBN 83-01-02175-6.