Nierówność Minkowskiego

Nierówność Minkowskiego – zestaw nierówności autorstwa Hermanna Minkowskiego^[1].

Nierówność Minkowskiego dla sum

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|s_{k}+t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|s_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

przy ${\displaystyle p\geqslant 1}$ dla dowolnych ciągów ${\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{n}}$ i ${\displaystyle (t_{k})_{k=1}^{n}}$ w ${\displaystyle K.}$

Nierówność Minkowskiego dla szeregów

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}+t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{\infty }|t_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

przy ${\displaystyle p\geqslant 1}$ dla dowolnych ciągów nieskończonych ${\displaystyle (s_{k})}$ i ${\displaystyle (t_{k})}$ w ${\displaystyle K}$ takich, że szeregi ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|s_{k}|^{p}}$ oraz ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|t_{k}|^{p}}$ są zbieżne.

Nierówność Minkowskiego dla całek

${\displaystyle \left(\int \limits _{\Omega }|x(t)+y(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\int \limits _{\Omega }|x(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int \limits _{\Omega }|y(t)|^{p}d{\mu }\right)^{\frac {1}{p}},}$

gdzie ${\displaystyle p\geqslant 1,}$ ${\displaystyle \Omega \ \subset R^{n}}$ – podzbiór mierzalny w sensie miary ${\displaystyle \mu }$ Lebesgue’a, zaś ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ – funkcje mierzalne takie, że całki

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|x(t)|^{p}d\mu }$ i ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|y(t)|^{p}d\mu }$ są skończone.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Minkowski inequality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].