Postulat Bertranda

Postulat Bertranda (twierdzenie Czebyszewa, twierdzenie Bertranda-Czebyszewa) – twierdzenie w teorii liczb.

Twierdzenie

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n\in N}$ większej lub równej ${\displaystyle 1}$ istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od ${\displaystyle n}$ i mniejsza lub równa ${\displaystyle 2n.}$

${\displaystyle \forall _{n\geqslant 1}\;\pi (2n)>\pi (n)}$

lub

${\displaystyle \forall _{n\geqslant 1}\;\exists _{p\in \mathbb {P} }\;2n\geqslant p>n.}$

Własności

Udowodniono również, że

${\displaystyle \forall _{n>5}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 2,}$

${\displaystyle \forall _{n>8}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 3,}$

${\displaystyle \forall _{n>14}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 4,}$

${\displaystyle \forall _{n>20}\;\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 5.}$

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje „odpowiednia wartość”, którą można wpisać pod kwantyfikatorem.

Postulat Bertranda

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli ${\displaystyle n>3}$ jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza ${\displaystyle p}$ taka, że ${\displaystyle n<p<2n-2}$^[1]. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału ${\displaystyle [2,3\cdot 10^{6}].}$ W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszew.

Zobacz też

• funkcja π
• liczby pierwsze Ramanujana

Przypisy