Silna topologia operatorowa

Silna topologia operatorowa (mocna topologia operatorowa; także SOT od ang. strong operator topology) - dla pary przestrzeni Banacha E i F topologia lokalnie wypukła w przestrzeni B(E, F) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych z E do F wprowadzona przez rodzinę półnorm fx danych wzorami:

f x ( T ) = ‖ T x ‖ , {\displaystyle f_{x}(T)=\|Tx\|,}

gdzie x ∈ E. Silna topologia operatorowa jest więc niczym innym jak topologią zbieżności punktowej w B(E, F).

Własności

  • Topologia SOT jest słabsza od topologii pochodzej od normy w B(E, F), ale mocniejsza od słabej topologii operatorowej (WOT).
  • Jako przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie (B(E, F), SOT) i (B(E, F), WOT) mają te same przestrzenie sprzężone (tj. funkcjonał liniowy na B(E, F) jest ciągły względem SOT wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w sensie WOT).
  • Domknięcia C*-algebry (w B(H); H - przestrzeń Hilberta) w sensie słabej (WOT) i silnej topologii operatorowej pokrywają się (por. twierdzenie o drugim komutancie). W szczególności, ciąg uogólniony Tα zbiega do 0 w sensie SOT wtedy i tylko wtedy, gdy T*αTα zbiega do 0 w sensie WOT.
  • Twierdzenie Banacha-Steinhausa mówi o zbieżności w mocnej topologii operatorowej.

Bibliografia

  • Changsun Choi, Ju Myung Kim, Locally convex vector topologies on B(X,Y), J. Korean Math. Soc. 45 (2008), no. 6, 1677-1703.
  • Gert K. Pedersen, Analysis Now. Springer Verlag, 1989.