Tożsamość polaryzacyjna

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X,}$ to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x,y\rangle .}$

(1)

Zastępując w równaniu (1) ${\displaystyle y}$ przez ${\displaystyle -y,}$ otrzymuje się wzór

${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\langle x,y\rangle ,}$

(2)

co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.

Dodanie równań (1) oraz (2) daje

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$

co odpowiada tożsamości równoległoboku.

Z kolei odejmując stronami (2) od (1), dostaje się

${\displaystyle \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=4\langle x,y\rangle .}$

Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie (1) odpowiada (3), a równanie (2) odpowiada (4), a powyższa suma (1) oraz (2) poniżej sumie (3) i (4). Tożsamość (1) jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,}$

(3)

z kolei w (2), podobnie jak wyżej, zmieniono znak ${\displaystyle b{:}}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,}$

(4)

ostatecznie suma (3) i (4), to

${\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$

Wyprowadzenie

Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

(5)

Iloczyn skalarny

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x+y,x\rangle +\langle x+y,y\rangle }$

jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle y,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle ,}$

a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do

${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle y,y\rangle +2\langle x,y\rangle .}$

(6)

Przyłożenie definicji normy z równania (5) do (6) daje równanie (1), czyli tożsamość polaryzacyjną.

Uogólnienia

Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.

Linki zewnętrzne

• Polarization identity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].