Wykładnicza nierówność Czebyszewa

Wykładnicza nierówność Czebyszewa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej X {\displaystyle X} o wartości oczekiwanej E ( X ) , {\displaystyle E(X),} jeśli E ( e p X ) < ∞ {\displaystyle E(e^{pX})<\infty } dla pewnego p > 0 , {\displaystyle p>0,} to dla λ ∈ [ 0 , p ] {\displaystyle \lambda \in [0,p]}

P ( X ⩾ ε ) ⩽ E ( e λ X ) e λ ε {\displaystyle P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {E(e^{\lambda X})}{e^{\lambda \varepsilon }}}}

dla każdego ε > 0. {\displaystyle \varepsilon >0.}

Dowód

Wykładnicza nierówność Czebyszewa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa e λ X {\displaystyle e^{\lambda X}} zamiast X {\displaystyle X} oraz e λ ε {\displaystyle e^{\lambda \varepsilon }} zamiast ε , {\displaystyle \varepsilon ,} której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ e λ X ⩾ e λ ε ⟺ X ⩾ ε . {\displaystyle e^{\lambda X}\geqslant e^{\lambda \varepsilon }\iff X\geqslant \varepsilon .}

Zobacz też