Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe^[1], problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji^[2]. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.

Przykład

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

${\displaystyle {\begin{cases}y'={\frac {y}{x^{2}+1}},\\[2pt]y\left({\frac {\pi }{4}}\right)=e^{3}.\end{cases}}}$

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

${\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+C}.}$

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej ${\displaystyle C,}$ więc:

${\displaystyle e^{3}=e^{\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C},}$

${\displaystyle 3=\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C,}$

${\displaystyle C=3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}.}$

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

${\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}}.}$

Przypisy

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Wyd. 27. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.