Aproximação linear

Em matemática, uma aproximação linear é uma aproximação de uma função geral (mais precisamente, uma função afim). Elas são amplamente usadas no método de diferenças finitas para produzir métodos de primeira ordem para resolver-se ou obter soluções aproximadas para equações.

Definição

Dada uma função ${\displaystyle f(x)}$ contínua, diferenciável e com uma variável real ${\displaystyle x}$, cujo valor é próximo de uma constante ${\displaystyle a}$, temos:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$

Para valores próximos de ${\displaystyle a}$, a curva descrita pela função ${\displaystyle f(x)}$ se aproxima de uma reta. Dessa forma, se uma reta for traçada tangente a essa curva, no ponto ${\displaystyle a}$, é possível calcular o valor aproximado de ${\displaystyle f(x)}$.

Exemplo

Calculemos o valor aproximado de ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$.

1. Seja ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$, o problema se resume a encontrar o valor de ${\displaystyle f(25)}$.
2. Precisamos de um valor ${\displaystyle a}$ próximo de 25, e do qual saibamos o valor de ${\displaystyle f(a)}$, sabemos que ${\displaystyle f(27)=3}$ então usemos ${\displaystyle a=27}$
3. Derivando ${\displaystyle f(x)}$ e encontrando o valor de ${\displaystyle f'(a)}$:

   ${\displaystyle f'(x)={\frac {x^{-2/3}}{3}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}}$ assim, ${\displaystyle f'(27)={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{27^{2}}}}}={\frac {1}{27}}}$

4. Usando a aproximação linear:

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27\approx 2,926}$

5. O resultado é bem próximo do valor real de 2,924

Ver também

• Expansão assintótica

Bibliografia

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. p. 775. ISBN 0-387-90985-0 
• Strang, Gilbert (1991). Calculus. [S.l.]: Wellesley College. p. 94. ISBN 0-9614088-2-0 
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. p. 118. ISBN 0-7641-2382-3