Convergência fraca

Em matemática, a convergência fraca é um importante conceito da análise funcional aplicado no estudo dos espaços vectoriais topológicos tais como os espaços de Hilbert ou espaços de Banach.

No espaços ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\,}$ convergência fraca e convergência em norma são conceitos equivalentes.

Definição

Um seqüência ${\displaystyle x_{n}\,}$ em um espaço vetorial topológico ${\displaystyle X\,}$ converge fracamente para um ponto ${\displaystyle x\,}$ se:

${\displaystyle l(x_{n})\to l(x)\,}$ para todo funcional linear limitado ${\displaystyle l\,}$

Escreve-se:

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x\,}$

Limitação

Uma seqüência fracamente convergente em um espaço localmente convexo limitada.

Exemplo

Considere o espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis no intervalo ${\displaystyle [0,2\pi ]\,}$ e a seqüência ${\displaystyle \{x_{n}\}\subseteq L^{2}[0,2\pi ]\,}$ dada por:

${\displaystyle x_{n}=\sin(nx),n=1,2,\ldots \,}$

Do lema de Riemann-Lebesgue, temos que:

${\displaystyle \langle x_{n},u\rangle :=\int _{0}^{2\pi }\sin(nx)udx\to 0,\forall u\in L^{2}[0,2\pi ]\,}$

portanto:

${\displaystyle \sin(nx)\rightharpoonup 0,\,}$ em ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]\,}$

Contraste isto com o fato que:

${\displaystyle \|x_{n}\|:={\sqrt {\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(nx)dx}}={\sqrt {\pi }}\,}$

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