A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.
A equação
A forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa
em função do ângulo
. Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro
em função de
. Defina o momento angular específico como
, onde
é o momento angular e
a massa. A equação de Binet[1] é
![{\displaystyle F(u)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8766832b0f2f5ce07c7e271071fe3ccd0b818b97)
Demonstração[2]
A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é
![{\displaystyle F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c45bd30b6291df9c7b958a13b3ce0549068cc87)
A conservação do momento angular requer que
![{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h=constante.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaecf8fb687ec18954817fe3ac312a48c202b662)
As derivadas de
em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de
em relação ao ângulo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4a1f874c1cecc0654ef2b23842415ff4422d40)
Combinando as equações acima, obtemos
![{\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae447995a6ebb74f2f1ce42f76260480397fc016)
Aplicações
O problema de Kepler
O tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=constante>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57dec93a67bb3ee7e7279150bb2543d50878f833)
Se o ângulo
é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é
![{\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4af9e72d02c6b380011b0d3553b0453ef51350)
A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde
é o semi-latus rectum e
é a excentricidade da órbita.
A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é[3]
,
onde
é a velocidade da luz e
é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9faa92651b9b454465a9d213311fabca64a9711f)
Onde
é a carga elétrica e
a permissividade do vácuo.
O problema de Kepler inverso
Considere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?
Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos
![{\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d23a86a705ed47cdefacf97f903c6a06e5ff4c8)
Assim, a lei de forças é
![{\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e527395aaa9848ae017d5cc177ed24d3560e69)
que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital
aos valores físicos
ou
, obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.
Espirais hiperbólicas
Uma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma
![{\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2108eeb25d2aeba5de784d56c698d44c4944e23)
As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041d335b8b7e21e74cc0b914f9a2290d53c4e926)
A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se
, a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando
. Se
, a solução é a espiral hiperbólica. Se
, a solução é a espiral logarítmica.
Movimento circular fora de eixo
Embora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é
![{\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c81bbd10f136088e8589c593bcb4b4452f3e32)
Diferenciando
duas vezes e utilizando a identidade trigonométrica fundamental, obtemos:
![{\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03011872fd584c1e072961026165ca68feb99ad6)
Assim, a lei de forças é
![{\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6490c1a48b9bfa5a3f82eec1b5b621145110c2)
Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a
, é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver
,
que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.
Ver também
- Quantização de Bohr-Sommerfeld / Órbita relativística
- Problema de forças centrais clássico
- Relatividade geral
- Problema de dois corpos na relatividade geral
Referências
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Binet equation», especificamente desta versão.
Referências
- ↑ «Fyta12:1 – Motion in a Central Force Field» (PDF). Consultado em 5 de outubro de 2010
- ↑ «Mechanics 1, Lecture 22: Motion in a Central Force Field, II» (PDF). Consultado em 5 de outubro de 2010
- ↑ http://www.wbabin.net/science/kren3.pdf