Equação diferencial linear

Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

a n ( x ) d n y d x n + a n − 1 ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + . . . + a 1 ( x ) d y d x + a 0 ( x ) y = g ( x ) . {\displaystyle a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).}
(0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

  • Cada coeficiente a n {\displaystyle a_{n}} e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
  • A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

( d 2 y d x 2 ) 3 − 2 x y = 1. {\displaystyle \left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{3}-2xy=1.}

Introdução

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

L n [ D ] y ( x ) = g ( x ) {\displaystyle L_{n}[D]y(x)=g(x)}

Onde L n [ D ] {\displaystyle L_{n}[D]} é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

L n [ D ] = a n ( x ) D n + a n − 1 ( x ) D n − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 ( x ) D 1 + a 0 ( x ) ,   s e n d o   D j = d j d x j {\displaystyle L_{n}[D]=a_{n}(x)D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{1}(x)D^{1}+a_{0}(x),\ sendo\ D^{j}={\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

  • Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
  • Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
  • Coeficientes constantes se todos os a n {\displaystyle a_{n}} forem funções constantes.

Equação diferencial linear de primeira ordem

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo a n ( x ) ≠ 0 , {\displaystyle a_{n}(x)\neq 0,} visto ser n {\displaystyle n} a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para n = 1 , {\displaystyle n=1,} a equação (0.1) fica

a 1 ( x ) d y d x + a 0 ( x ) y = g ( x ) . {\displaystyle a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).} (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

Desenvolvimento

Dividindo ambos os membros por a 1 ( x ) , {\displaystyle a_{1}(x),} obtém-se uma equação da forma

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x).} (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que P ( x ) {\displaystyle P(x)} e Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} são contínuas num certo intervalo I , {\displaystyle I,} onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante e ∫ P ( x ) d x . {\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}.} Multiplicando ambos os membros da equação por e ∫ P ( x ) d x {\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}} obtém-se a seguinte equação equivalente:

e ∫ P ( x ) d x d y d x + e ∫ P ( x ) d x P ( x ) y = e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) . {\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}{\frac {dy}{dx}}+e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}P(x)y=e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x).} (0.4)

Deve-se notar que, como ∫ P ( x )   d x {\displaystyle \int _{}^{}P(x)\ dx} gera uma expressão da forma P 1 ( x ) + C , {\displaystyle P_{1}(x)+C,} pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

e ∫ P ( x ) d x y = ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C . {\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}y=\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C.} (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

d d x [ y e ∫ P ( x ) d x ] = e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[ye^{\int _{}^{}P(x)\,dx}\right]=e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x).} (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução y {\displaystyle y} de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função y {\displaystyle y} nas condições de (0.5), i.e., tal que

y = e − ∫ P ( x ) d x ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C e − ∫ P ( x ) d x , {\displaystyle y=e^{-\int _{}^{}P(x)\,dx}\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+Ce^{-\int _{}^{}P(x)\,dx},} (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive y , {\displaystyle y,} ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua y {\displaystyle y} e y ′ {\displaystyle y'} em (0.3)).

Exemplo

Considere a equação diferencial

y ′ + 2 y = e 2 x . {\displaystyle y'+2y=e^{2x}.} (0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

P ( x ) = 2 {\displaystyle P(x)=2} e Q ( x ) = e 2 x . {\displaystyle Q(x)=e^{2x}.}

∫ P ( x ) d x = ∫ 2 d x = 2 x + C . {\displaystyle \int _{}^{}P(x)dx=\int _{}^{}2dx=2x+C.}

A solução geral da equação é dada por

e 2 x y = ∫ e 2 x e 2 x d x + C , {\displaystyle e^{2x}y=\int _{}^{}e^{2x}e^{2x}\,dx+C,}

donde se obtém

e 2 x y = ∫ e 4 x d x + C , {\displaystyle e^{2x}y=\int _{}^{}e^{4x}\,dx+C,}

i.e.,

e 2 x y = e 4 x 4 + C . {\displaystyle e^{2x}y={\frac {e^{4x}}{4}}+C.}

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

y = e 2 x 4 + C e − 2 x . {\displaystyle y={\frac {e^{2x}}{4}}+Ce^{-2x}.}

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Constantes

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus a n {\displaystyle a_{n}} são funções constantes. Por exemplo:

y ″ ( x ) + 2 ∗ y ′ ( x ) + 5 = 0 {\displaystyle y''(x)+2*y'(x)+5=0}
4 ∗ y ′ ( x ) + y ( x ) = 0 {\displaystyle 4*y'(x)+y(x)=0}

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

Exemplo

Dada a equação diferencial a seguir, com suas respectivas condições iniciais. Observe que são necessárias duas condições iniciais, já que é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

y ″ ( t ) + 3 ∗ y ′ ( t ) + 2 ∗ y ( t ) = 0 {\displaystyle y''(t)+3*y'(t)+2*y(t)=0}

y ( 0 ) = 0       y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=0\ \ \ y'(0)=1}
Aplica-se a Transformada de Laplace, de modo que:

L { y ″ ( t ) } + 3 L { y ′ ( t ) } + 2 L { y ( t ) } = 0 {\displaystyle L\{y''(t)\}+3L\{y'(t)\}+2L\{y(t)\}=0}

s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + 3 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) + 2 Y ( s ) = 0 {\displaystyle s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0}

s 2 Y ( s ) − 1 + 3 s Y ( s ) + 2 Y ( s ) = 0 {\displaystyle s^{2}Y(s)-1+3sY(s)+2Y(s)=0}

Y ( s ) = 1 ( s + 2 ) ( s + 1 ) {\displaystyle Y(s)={\frac {1}{(s+2)(s+1)}}}

Agora aplica-se a Transformada Inversa de Laplace para se encontrar a solução no domínio do tempo:

y ( t ) = e − 2 t + e − t {\displaystyle y(t)=e^{-2t}+e^{-t}}

Equação Diferencial Linear Homogênea com Coeficientes Variáveis

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

10 x y ″ ( x ) + 5 x y ′ ( x ) + y ( x ) = 0 {\displaystyle 10xy''(x)+5xy'(x)+y(x)=0}
y ′ ( x ) + x y ( x ) = 0 {\displaystyle y'(x)+xy(x)=0}

Exemplo:[1]

t y ″ ( t ) + y ′ ( t ) + 9 t y ( t ) = 0 {\displaystyle ty''(t)+y'(t)+9ty(t)=0}

y ( 0 ) = 5         y ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=5\ \ \ \ y'(0)=0}
Aplica-se a Transformada de Laplace:

− d d s ( s 2 Y ( s ) − 5 s ) + s Y ( s ) − 5 − 9 d d s Y ( s ) = 0 {\displaystyle -{\frac {d}{ds}}(s^{2}Y(s)-5s)+sY(s)-5-9{\frac {d}{ds}}Y(s)=0}

− s 2 Y ′ ( s ) − 2 s Y ( s ) + s Y ( s ) − 9 Y ′ ( s ) = 0 {\displaystyle -s^{2}Y'(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y'(s)=0}

Y ′ ( s ) Y ( s ) = − s s 2 + 9 {\displaystyle {\frac {Y'(s)}{Y(s)}}=-{\frac {s}{s^{2}+9}}}
Sendo K uma constante de integração:
l n ( Y ( s ) ) = − 1 2 l n ( s 2 + 9 ) + K {\displaystyle ln(Y(s))=-{\frac {1}{2}}ln(s^{2}+9)+K}

Y ( s ) = K s 2 + 9 {\displaystyle Y(s)={\frac {K}{\sqrt {s^{2}+9}}}}
Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

y ( t ) = K J 0 ( 3 t ) {\displaystyle y(t)=KJ_{0}(3t)}
y ( t ) = 5 J 0 ( 3 t ) {\displaystyle y(t)=5J_{0}(3t)}

Onde J 0 {\textstyle J_{0}} é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea com Coeficientes Constantes

Equação diferencial com funções constantes nos termos a n {\displaystyle a_{n}} e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

Exemplo

Dada a seguinte equação diferencial, onde δ ( t − π ) {\displaystyle \delta (t-\pi )} é a função Delta de Dirac aplicada em π {\displaystyle \pi } , aplica-se a Transformada de Laplace.

y ″ ( t ) + y ( t ) = δ ( t − π ) {\displaystyle y''(t)+y(t)=\delta (t-\pi )}

y ( 0 ) = 0       y ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=0\ \ \ y'(0)=1}

L { y ″ ( t ) } + L { y ( t ) } = L { δ ( t − π ) } {\displaystyle L\{y''(t)\}+L\{y(t)\}=L\{\delta (t-\pi )\}}

s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + Y ( s ) = e − π s {\displaystyle s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=e^{-\pi s}}

Y ( s ) = e − π s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 {\displaystyle Y(s)={\frac {e^{-\pi s}}{s^{2}+1}}+{\frac {1}{s^{2}+1}}}
Aplicando-se a Transformada Inversa:

y ( t ) = u ( t − π ) ∗ s e n ( t − π ) + s e n ( t ) {\displaystyle y(t)=u(t-\pi )*sen(t-\pi )+sen(t)}

Onde u ( t − π ) {\displaystyle u(t-\pi )} é a Função de Heaviside aplicada em π {\displaystyle \pi } .

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira[2]:

x 1 ′ = p 11 ( t ) x 1 + p 12 ( t ) x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p 1 n ( t ) x n + g 1 ( t ) {\displaystyle x'_{1}=p_{11}(t)x_{1}+p_{12}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_{n}+g_{1}(t)}

x 2 ′ = p 21 ( t ) x 1 + p 22 ( t ) x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p 2 n ( t ) x n + g 2 ( t ) {\displaystyle x'_{2}=p_{21}(t)x_{1}+p_{22}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_{n}+g_{2}(t)}

⋅   ⋅   ⋅ {\displaystyle \cdot \ \cdot \ \cdot }
x n ′ = p n 1 ( t ) x 1 + p n 2 ( t ) x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n n ( t ) x n + g n ( t ) {\displaystyle x'_{n}=p_{n1}(t)x_{1}+p_{n2}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_{n}+g_{n}(t)}

Ver também

Referências

  1. ↑ Sauter, Esequia; Azevedo, Fábio (2015). Transformada de Laplace. [S.l.: s.n.] 
  2. ↑ Boyce, William E; Brannan, James R (2010). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-470-45824-2 
  • Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas 
  • v
  • d
  • e
Sistema de equações diferenciais
Equações diferenciais
parciais
Métodos analíticos
Métodos numéricos
Pessoas
Outros