Espaço de Minkowski

Em física e matemática, espaço de Minkowski, também tratada de métrica de Minkowski, é a configuração matemática na qual a teoria da relatividade especial de Einstein é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar um espaço-tempo.

O espaço de Minkowski possui este nome em referência ao matemático alemão Hermann Minkowski.

Estrutura

Formalmente, o espaço de Minkowski é um campo vetorial real quadrimensional equipado com uma forma bilinear simétrica, não degenerada, com assinatura (-,+,+,+).

Elementos do espaço de Minkowski são chamados eventos ou quadrivetores.

Espaço de Minkowski é frequentemente denotado R1,3 para enfatizar a assinatura, entretanto é também denotada M 4 ou simplesmente M.

O Produto interno no espaço de Minkowski

O que se chama de produto interno no espaço de Minkowski é similar ao produto interno euclidiano, com uma diferença fundamental: enquanto que em um produto interno a equação v.v = 0 tem como única solução o vetor nulo v = 0, no caso do espaço de Minkowski existem vários quadrivetores que a satisfazem.

Este produto interno gera uma geometria diferente da euclideana, a geometria geralmente associada a relatividade.

Considere M {\displaystyle M} sendo um vetor-espaço real quadrimensional. O produto interno Minkowski é uma função η : M × M → R {\displaystyle \eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R} } (isto é, dado dois vetores quaisquer V , W {\displaystyle V,W} em M {\displaystyle M} define-se η ( V , W ) {\displaystyle \eta (V,W)} como um número real) que satisfaz as propriedades (1), (2), (3) listadas aqui, bem como a propriedade (4) dada abaixo:

1.  bilinear: η ( a U + V , W ) = a η ( U , W ) + η ( V , W ) {\displaystyle \eta (aU+V,W)\,=a\eta (U,W)+\eta (V,W)} , ( ∀ a ∈ R {\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} } e ∀ U , V , W ∈ M {\displaystyle \forall U,V,W\in M} )

2.  simétrica: η ( V , W ) = η ( W , V ) {\displaystyle \eta (V,W)\,=\eta (W,V)} ( ∀ V , W ∈ M {\displaystyle \forall V,W\in M} )

3.  não degenerada: se η ( V , W ) = 0 {\displaystyle \eta (V,W)\,=0} ∀ W ∈ M {\displaystyle \forall W\in M} , então V = 0 {\displaystyle V\,=0} ,

4.  O produto interno η {\displaystyle \eta } tem assinatura métrica (-,+,+,+)

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