Imersão (matemática)

A garrafa de Klein, imersa no espaço tridimensional

Em matemática, uma imersão é uma função diferenciável entre variedades diferenciáveis cuja derivada é injetiva em todos os pontos.[1]

Explicitamente, f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} é uma imersão se

D p f : T p M → T f ( p ) N {\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}

é uma aplicação injetiva em todo ponto p {\displaystyle p} de M {\displaystyle M} (onde a notação T p X {\displaystyle T_{p}X} representa o espaço tangente de X {\displaystyle X} no ponto p {\displaystyle p} ). Equivalentemente, f {\displaystyle f} é uma imersão se ela possui posto constante igual à dimensão de M {\displaystyle M} :

rank f = dim ⁡ M . {\displaystyle \operatorname {rank} \,f=\dim M.} [1][2]

Não é preciso que a função f propriamente dita seja injetiva, somente sua derivada.[1]

Ver também

  • Submersão
  • Subvariedade imersa
  • Imersão isométrica

Referências

  1. ↑ a b c Lima, E. L. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: Monografias de Matemáticas - IMPA. Variedades Diferenciáveis. Rio de Janeiro: Monografias de Matemáticas - IMPA, 1973.
  2. ↑ SPIVAK, Michael. Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. CRC press, 2018.

Bibliografia

  • Masahisa Adachi. Embeddings and immersions. 1993. ISBN 9780821846124
  • Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985), Singularities of Differentiable Maps: Volume 1, ISBN 0817631879, Birkhäuser 
  • Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, ISBN 0521429994, Cambridge University Press 
  • Gromov, M. (1986), Partial differential relations, ISBN 3-540-12177-3, Springer 
  • Hirsch M. Immersions of manifolds. Trans. A.M.S. 93 1959 242—276.
  • Lima, Elon Lages (2004). Análise real. Col: Coleção Matemática Universitária. 2. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 85-244-0221-0. Consultado em 28 de agosto de 2010. Arquivado do original em 21 de março de 2009 
  • Smale, S. A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290.
  • Smale, S. The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math. (2) 69 1959 327—344.
  • Spring, D. (2005), «The Golden Age of Immersion Theory in Topology: 1959-1973» (PDF), Bulletin American Mathematical Society (42): 163–180 
  • Wall, C. T. C.: Surgery on compact manifolds. 2nd ed., Mathematical Surveys and Monographs 69, A.M.S.