Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao mesmo critério de convergência). É condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, i. e., fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exacta do sistema linear.

Procuramos a solução do conjunto de equações lineares, expressadas em termos de matriz como

A iteração Gauss-Seidel é

${\displaystyle x^{(k+1)}=\left({D+L}\right)^{-1}\left({-Ux^{(k)}+b}\right),}$

onde ${\displaystyle A=D+L+U}$; as matrizes ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle L}$, e ${\displaystyle U}$ representam respectivamente os coeficientes da matriz ${\displaystyle A}$: a diagonal, triangular estritamente inferior, e triangular estritamente superior; e ${\displaystyle k}$ é o contador da iteração. Esta expressão matricial é utilizada principalmente para analisar o método. Quando implementada, Gauss-Seidel, uma aproximação explícita de entrada por entrada é utilizada:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\,i=1,2,\ldots ,n.}$

Diferenciando-se do método de Gauss-Jacob:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j=1,j\neq i}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\,i=1,2,\ldots ,n}$

Sendo que o método de Gauss-Seidel apresenta convergência mais rápida que este último.

Note que o cálculo de ${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}}$ utiliza apenas os elementos de ${\displaystyle x^{(k+1)}\,}$ que já havia sido calculada e apenas aqueles elementos de ${\displaystyle x^{(k)}\,}$ já haviam avançado para a iteração ${\displaystyle k+1}$. Isto significa que nenhum armazenamento adicional é necessário, e que computacionalmente pode ser substituído (${\displaystyle x^{(k)}\,}$ por ${\displaystyle x^{(k+1)}\,}$). A iteração geralmente continua até que a solução esteja dentro da tolerância especificada.

Pseudocódigo

O pseudocódigo a seguir descreve um algoritmo baseado no método de Gauss-Seidel. As variáveis de entrada são: a matriz de coeficientes ${\displaystyle A}$, o vetor dos termos constantes ${\displaystyle b}$, a tolerância ${\displaystyle TOL}$ para o critério de parada e o número máximo de iterações. A saída é a aproximação calculada da solução de ${\displaystyle Ax=b}$ ou mensagem de que o critério de parada não foi satisfeito.

escolher uma aproximação inicial xo = (xo1, …, xon)
faça k = 1.
enquanto k <= N faça:
  para i := (1, …, n):
    σ = 0.
    para j := (1, …, i-1):
      σ = σ + aij * xj
    fim para.
    para j := (i+1, …, n):
      σ = σ + aij * xoj
    fim para.
    xi = (bi - σ) / aii
  fim para.
  se ||x-xo|| <= TOL então:
    retorna x.
  fim se
  xo = x.
  k = k+1.
fim enquanto.
imprime mensagem "Número máximo de iterações excedido."

Javascript

Abaixo é apresentado a resolução utilizando a linguagem JavaScript.

function norm(Matrix) {
    //Requer implementação ou inclusão de bibliotecas de terceiros
}
/*
* A = Matriz
* b = Resultado da matriz
*/
function gaussSeidel(A, b) {
	var X = new Array();
	var x = new Array();
	for (var k = 0; k < b.length; k++)
	{
		X[k] = 0; //Math.floor((Math.random() * 10000) + 1);
	}
	var E = 0.00001; //precisao, tolerância
	var m = 1000; //número máximo de iterações
	var ni = 0; //contador de iterações
	var continuar = true;

	while (continuar && ni < m) {
	    for (var i=0; i < b.length; i++) {
	        soma = 0;
	        for (var j = 0; j < i; j++) {
                	soma = soma + A[i][j] * x[j];
	        }
	        for (var j = i + 1; j < b.length; j++) {
                	soma = soma + A[i][j] * X[j];
	        }
		x[i] = (b[i] - soma) / A[i][i];
	    }
	    // se | x - xo | < Tolerância
	    if (Math.abs(math.norm(x) - math.norm(X)) < E) {
	        continuar = false;
	    } else {
	        X=x.slice(0);
	    }
	    ni = ni + 1;
	}
	return x;
}

Exemplo

Utilizando a equação dois, vamos calcular uma iteração da matriz, sendo que a análise da convergência é dada pela diagonal dominante, ou seja, o a soma dos módulos de todos os elementos em que i difere de j de uma dada linha tem que ser menor do que o módulo do elemento em que i é igual a j nesta mesma linha. Verificado isso, parte-se para a próxima etapa:

Matriz:

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}4x_{1}-x_{2}-x_{3}=-1\\-x_{1}+4x_{2}-x_{3}-x_{4}=2\\-x_{1}-x_{2}+4x_{3}-x_{4}-x_{5}=6\\-x_{2}-x_{3}+4x_{4}-x_{5}=2\\-x_{3}-x_{4}+4x_{5}=-1\end{matrix}}\right.}$

Em que bi é igual:

${\displaystyle b_{i}={\begin{pmatrix}-1\\2\\6\\2\\-1\\\end{pmatrix}}}$

Usando a equação: ${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1,j\neq i}^{n}{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}+x_{j}^{(k)}+{\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\,i=1,2,\ldots ,n}$

Obtemos o sistema :

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}x^{(k+1)}=-{\frac {1}{4}}+0.25x_{2}^{(k)}+0.25x_{3}^{(k)}\\\\x^{(k+1)}={\frac {1}{2}}+0.25x_{1}^{(k)}+0.25x_{3}^{(k)}+0.25x_{4}^{(k)}\\\\x^{(k+1)}={\frac {3}{2}}+0.25x_{1}^{(k)}+0.25x_{2}^{(k)}+0.25x_{4}^{(k)}+0.25x_{5}^{(k)}\\\\x^{(k+1)}={\frac {1}{2}}+0.25x_{2}^{(k)}+0.25x_{3}^{(k)}+0.25x_{5}^{(k)}\\\\x^{(k+1)}=-{\frac {1}{4}}+0.25x_{3}^{(k)}+0.25x_{4}^{(k)}\end{matrix}}\right.}$

Utilizando a pressuposição inicial de vetor nulo:

${\displaystyle x^{(0)}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

É necessário notar que, ao fazer as iterações, o x que recebe o valor é substituido e jogado na equação de baixo. Por exemplo:

${\displaystyle x^{(1)}=-{\frac {1}{4}}+0.25x_{2}^{(k)}+0.25x_{3}^{(k)}}$

Resulta em:

${\displaystyle x^{(1)}=-{\frac {1}{4}}+0.25*0+0.25*0}$

Que resulta em:

${\displaystyle x^{(1)}=-0.25}$

Como esse é jogado na equação seguinte, no caso x2:

${\displaystyle x^{(2)}={\frac {1}{2}}+0.25x_{1}^{(k)}+0.25x_{3}^{(k-1)}+0.25x_{4}^{(k-1)}}$

Após a substituição essa ficará assim:

${\displaystyle x^{(2)}={\frac {1}{2}}+0.25*(-0.25)+0.25*0+0.25*0}$

Ou seja, somente o valor de x1 está definido, pois uma iteração já havia sido feita, o resto dos x's assumem seu valor inicial, no caso, zero. Por fim, após uma iteração temos:

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}x_{1}^{(1)}=-0.25\\\\x_{2}^{(1)}=0.4375\\\\x_{3}^{(1)}=1.546875\\\\x_{4}^{(1)}=0.99609375\\\\x_{5}^{(1)}=0.3857421875\end{matrix}}\right.}$

Calculando o Erro

O cálculo do erro consiste em se pegar a maior diferença entre as raízes da iteração k-1 e k, e dividi-las por o valor de x máximo da iteração atual;

${\displaystyle erro^{(k)}={\frac {\max \left|x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(k-1)}\right|}{\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}\left|x_{i}^{(k)}\right|}}}$

Diferenças:

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}|x_{1}^{(1)}-x_{1}^{(0)}|=|-0.25-0|=0.25\\\\|x_{2}^{(1)}-x_{2}^{(0)}|=0.4375\\\\|x_{3}^{(1)}-x_{3}^{(0)}|=1.546875\\\\|x_{4}^{(1)}-x_{4}^{(0)}|=0.99609375\\\\|x_{5}^{(1)}-x_{5}^{(0)}|=0.3857421875\end{matrix}}\right.}$

Erro da primeira iteração:

${\displaystyle MR^{(1)}={\frac {1.546875}{1.546875}}=1}$

Ligações externas

• «Algoritmo em pseudo-código» (PDF) 
• «Código fonte»  da implementação do método em GNU Octave