Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ pode ser definida^[1] formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico ${\displaystyle f_{i}\,}$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ tais que:

1. ${\displaystyle (f_{i}+f_{j}){\hat {}}={\hat {f}}_{j}+{\hat {f}}_{j}}$
2. ${\displaystyle (\lambda f_{i}){\hat {}}=\lambda {\hat {f}}_{j}\qquad \lambda \in \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}{\hat {}}=-i[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}]}$
4. ${\displaystyle {\hat {1}}=I_{\mathcal {H}}}$
5. Os operadores de posição ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ e seus momentos conjugados ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ atuam irreduzivelmente sobre ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Onde ${\displaystyle I_{\mathcal {H}}}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ é o parênteses de Poisson e ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar ${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

${\displaystyle {\hat {q}}_{i}\psi (q_{i})=q_{i}\psi (q_{i})\qquad {\hat {p}}_{i}\psi (q_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\psi (q_{i})}$

Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\psi (p_{i})=p_{i}{\tilde {\psi }}(p_{i})\qquad {\hat {q}}_{i}\psi (p_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}(p_{i})}$

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ se chama quantizável se existe um ${\displaystyle S^{1}}$-fibrado principal ${\displaystyle \pi :{\mathcal {Q_{M}}}\to {\mathcal {M}}}$ e uma 1-forma ${\displaystyle \alpha \;}$ sobre ${\displaystyle {\mathcal {Q_{M}}}}$, chamada variedade de quantização, tal que:

1. ${\displaystyle \alpha \;}$ é invariante sob a ação de ${\displaystyle S^{1}[\approx U(1)]}$
2. ${\displaystyle \pi ^{*}\omega =d\alpha \;}$

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ é quantizável se e somente se ${\displaystyle \omega /h\in H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )}$

Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

• A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P_i e Q_i que satisfazem as relações [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 e [Q_i,P_j] = 0.
• A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização

Ver artigo principal: Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

• Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
• Quantização canônica covariante.
• Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
• Quantização geométrica.
• Aproximação variacional de Schwinger.

Referências

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)

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