Criteriul Kummer

Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări.
  • Nu are introducere cu explicația scurtă a subiectului sau introducerea existentă este prea scurtă. Marcat din august 2019.
  • Trebuie pus(ă) în formatul standard. Marcat din august 2019.
  • Are bibliografia incompletă sau inexistentă. Marcat din august 2019.
 Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor.

Enunț:

Fie ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive ( b n ) n ∈ N ∗ {\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}} , o constantă α > 0 {\displaystyle \alpha >0} și un număr natural N {\displaystyle N} așa încât c n = a n a n + 1 b n − b n + 1 ≥ α , ∀ n ≥ N {\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N} atunci seria ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} este convergentă, altfel dacă c n ≤ 0 , ∀ n ≥ N {\displaystyle c_{n}\leq 0,\forall n\geq N} și ∑ n = 1 ∞ 1 b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}} este divergentă, atunci ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} este divergentă.

Demonstrație:

Demonstrăm prima parte: a n a n + 1 b n − b n + 1 ≥ α , ∀ n ≥ N ⟺ a n b n − a n + 1 b n + 1 ≥ α a n + 1 , ∀ n ≥ N {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N\iff a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\geq \alpha a_{n+1},\forall n\geq N} unde am ținut cont că a n + 1 > 0 {\displaystyle a_{n+1}>0} . Din această inegalitate deducem: ∑ n = N N + p − 1 ( a n b n − a n + 1 b n + 1 ) ≥ α ∑ n = N N + p − 1 a n + 1 ⟺ a N b N − a N + p b N + p ≥ α ( a N + 1 + . . . + a N + p ) ⟺ a N b N − a N + p b N + p ≥ α ( s N + p − s N ) {\displaystyle \sum _{n=N}^{N+p-1}(a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1})\geq \alpha \sum _{n=N}^{N+p-1}a_{n+1}\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (a_{N+1}+...+a_{N+p})\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (s_{N+p}-s_{N})} unde s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} . Din ultima inegalitate deducem s N + p − s N ≤ 1 α ( a N b N − a N + p b N + p ) ≤ 1 α a N b N ⟹ s N + p ≤ s N + 1 α a N b N , ∀ p ∈ N ∗ {\displaystyle s_{N+p}-s_{N}\leq {\frac {1}{\alpha }}(a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p})\leq {\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N}\implies s_{N+p}\leq s_{N}+{\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N},\forall p\in \mathbb {N} ^{*}} Acest rezultat arată că ( s n ) {\displaystyle (s_{n})} este un șir mărginit superior iar din faptul că a n > 0 , ∀ n ∈ N ∗ {\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} ^{*}} si s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} . deduceam că ( s n ) {\displaystyle (s_{n})} este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că ( s n ) {\displaystyle (s_{n})} este convergent și deci ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă c n ≤ 0 , ∀ n ≥ N ⟹ a n b n − a n + 1 b n + 1 ≤ 0 , ∀ n ≥ N ⟺ 1 b n + 1 1 b n ≤ a n + 1 a n , ∀ n ≥ N {\displaystyle c_{n}\leq 0,\forall n\geq N\implies a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\leq 0,\forall n\geq N\iff {\frac {\frac {1}{b_{n+1}}}{\frac {1}{b_{n}}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},\forall n\geq N} . Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că ∑ n = 1 ∞ 1 b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}} este divergentă avem că ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} este divergentă.