Curbă plană

În geometrie, o curbă plană este o curbă ale cărei puncte se găsesc în plan (spre deosebire de curba strâmbă).

Ecuații

Ecuația carteziană explicită a unei curbe plane este de forma:

y = y ( x ) , {\displaystyle y=y(x),} ( 1.1 ) {\displaystyle (1.1)}

iar cea implicită:

F ( x , y ) = 0. {\displaystyle F(x,y)=0.} ( 1.2 ) {\displaystyle (1.2)}

Ecuația în coordonate polare este:

r = r ( θ ) . {\displaystyle r=r(\theta ).} ( 1.3 ) {\displaystyle (1.3)}

Ecuațiile parametrice ale curbei plane sunt de forma:

{ x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} ( 1.4 ) {\displaystyle (1.4)}

Ecuația intrinsecă a unei astfel de curbe este de forma:

ρ = ρ ( s ) , {\displaystyle \rho =\rho (s),} ( 1.5 ) {\displaystyle (1.5)}

adică valoarea razei de curbură în funcție de arcul   s . {\displaystyle s.}  

Arc de curbă plană

Se numește arc simplu de curbă plană, mulțimea   ( C ) {\displaystyle (C)}   a punctelor   M ( x , y ) ∈ E 2 {\displaystyle M(x,y)\in {\mathcal {E}}_{2}} [1] a punctelor care satisfac o ecuație de tip:

y = f ( x ) , a < x < b , {\displaystyle y=f(x),\;a<x<b,} ( 2.1 ) {\displaystyle (2.1)}

unde   a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }   sunt fixate,

sau o ecuație de tipul:

F ( x , y ) = 0 , a 1 < x < a 2 , b 1 < y < b 2 {\displaystyle F(x,y)=0,\;a_{1}<x<a_{2},\;b_{1}<y<b_{2}}   cu   a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R {\displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {R} } ( 2.2 ) {\displaystyle (2.2)}

sau un sistem de forma:

{ x = g ( t ) y = h ( t ) , c 1 < t < c 2 , {\displaystyle {\begin{cases}x=g(t)\\y=h(t)\end{cases}},\;\;c_{1}<t<c_{2},} ( 2.3 ) {\displaystyle (2.3)}

cu   c 1 , c 2 ∈ R , {\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} ,}   unde   f , F , g , h {\displaystyle f,F,g,h}   sunt funcții reale, de clasă cel puțin   C 1 {\displaystyle C^{1}}   pe domeniile lor de definiție, iar g și h stabilesc o corespondență bijectivă și bicontinuă între punctele   M ∈ ( C ) {\displaystyle M\in (C)}   și mulțimea valorilor parametrului   t ∈ ( c 1 , c 2 ) . {\displaystyle t\in (c_{1},c_{2}).}  

Exemple

Nume Ecuație implicită Ecuație parametrică Ecuație explicită Grafic
Dreaptă a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} ( x 0 + α t , y 0 + β t ) {\displaystyle (x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)} y = m x + c {\displaystyle y=mx+c}
Cerc x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ( r cos ⁡ t , r sin ⁡ t ) {\displaystyle (r\cos t,r\sin t)} framless
Parabolă y − x 2 = 0 {\displaystyle y-x^{2}=0} ( t , t 2 ) {\displaystyle (t,t^{2})} y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}
Elipsă x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( a cos ⁡ t , b sin ⁡ t ) {\displaystyle (a\cos t,b\sin t)} framless
Hiperbolă x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( a cosh ⁡ t , b sinh ⁡ t ) {\displaystyle (a\cosh t,b\sinh t)}

Note

  1. ^ E 2 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}   este notația pentru planul euclidian.

Legături externe

  • en Wolfram MathWorld
 Acest articol referitor la geometrie este deocamdată un ciot. Puteți ajuta wikipedia prin completarea sa!