Fagure simplectic

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.
A ~ 2 {\displaystyle {\tilde {A}}_{2}} A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}
Pavare triunghiulară Fagure tetraedric-octaedric
Cu triunghiuri echilaterale roșii și galbene Cu tetraedre turcoaz și galbene și tetraedre rectificate (octaedre) roșii

În geometrie un fagure simplectic (sau fagure n-simplex) este o serie infinit dimensională de faguri, bazați pe simetria afină A ~ n {\displaystyle {\tilde {A}}_{n}} a grupului Coxeter. Are simbolul Schläfli {3[n+1]} și este reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin ca un graf ciclic cu n+1 noduri cu un nod inelat. Este format din fațete n-simplexuri, împreună cu toate n-simplexurile rectificate. Poate fi considerat ca un fagure hipercubic n-dimensional care a fost subdivizat de-a lungul tuturor hiperplanelor x + y + . . . ∈ Z {\displaystyle x+y+...\in \mathbb {Z} } , apoi întins de-a lungul diagonalei sale principale până când simplexurile de la capetele hipercuburilor devin regulate. Figura vârfului unui fagure n-simplex este un n-simplex expandat.

În spațiul bidimensional fagurele simplectic este pavarea triunghiulară, cu diagrama Coxeter umplând planul cu triunghiuri colorate alternativ. În spațiul tridimensional fagurele simplectic este fagurele tetraedric-octaedric, cu diagrama Coxeter umplând spațiul cu celule alternativ tetraedrice și octaedrice. În spațiul cvadridimensional este fagurele 5-celule, cu diagrama Coxeter , cu fațetele formate din 5-celule și 5-celule rectificat. În 5 dimensiuni este fagurele 5-simplex, cu diagrama Coxeter , umplând spațiul cu 5-simplexuri, 5-simplexuri rectificate și 5-simplexuri birectificate. În 6 dimensiuni este fagurele 6-simplex, cu diagrama Coxeter , umplând spațiul cu 6-simplexuri, 6-simplexuri rectificate și fațete 6-simplexuri birectificate.

După dimensiune

n A ~ 2 + {\displaystyle {\tilde {A}}_{2+}} Teselare Figura vârfului Fațete pe
figura vârfului 		Vârfuri pe
figura vârfului 		Figura laturii
1 A ~ 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}
Apeirogon
 1 2 -
2 A ~ 2 {\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}
Pavare triunghiulară
fagure 2-simplex
Hexagon
(Triunghi trunchiat)
 3+3 triunghiuri 6 Segment
3 A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}
Fagure tetraedric-octaedric
fagure 3-simplex
Cuboctaedru
(Tetraedru cantelat)
 4+4 tetraedre
6 tetraedre rectificate 		12
Dreptunghi
4 A ~ 4 {\displaystyle {\tilde {A}}_{4}} Fagure 4-simplex
5-celule runcinat
 5+5 5-celule
10+10 5-celule rectificat 		20
Antiprismă triunghiulară
5 A ~ 5 {\displaystyle {\tilde {A}}_{5}} Fagure 5-simplex
5-simplex stericat
 6+6 5-simplex
15+15 5-simplex rectificat
20 5-simplex birectificat 		30
Antiprismă tetraedrică
6 A ~ 6 {\displaystyle {\tilde {A}}_{6}} Fagure 6-simplex
 ... ... ... ...

Proiecție prin „plieri”

Fagurii (2n−1)-simplex și fagurii 2n-simplex pot fi proiectați în fagurele hipercubic n-dimensional printr-o operație de pliere geometrică care aplică două perechi de oglinzi una pe cealaltă, având în comun același aranjament al vârfurilor:

A ~ 2 {\displaystyle {\tilde {A}}_{2}} A ~ 4 {\displaystyle {\tilde {A}}_{4}} A ~ 6 {\displaystyle {\tilde {A}}_{6}} A ~ 8 {\displaystyle {\tilde {A}}_{8}} A ~ 10 {\displaystyle {\tilde {A}}_{10}} ...
A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}} A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}} A ~ 5 {\displaystyle {\tilde {A}}_{5}} A ~ 7 {\displaystyle {\tilde {A}}_{7}} A ~ 9 {\displaystyle {\tilde {A}}_{9}} ...
C ~ 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{1}} C ~ 2 {\displaystyle {\tilde {C}}_{2}} C ~ 3 {\displaystyle {\tilde {C}}_{3}} C ~ 4 {\displaystyle {\tilde {C}}_{4}} C ~ 5 {\displaystyle {\tilde {C}}_{5}} ...

Bibliografie

  • en George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  • en Branko Grünbaum, Uniform tilings of 3-space. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Uniform space-fillings)
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Vezi și

Portal icon Portal Matematică
 v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu Familia A ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}} C ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}} B ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}} D ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}} G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}} / F ~ 4 {\displaystyle {\tilde {F}}_{4}} / E ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
E2 Pavare uniformă {3[3]} δ3 hδ3 qδ3 Hexagonală
E3 Fagure convex uniform {3[4]} δ4 hδ4 qδ4
E4 4-fagure uniform {3[5]} δ5 hδ5 qδ5 Fagure 24-celule
E5 5-fagure uniform {3[6]} δ6 hδ6 qδ6
E6 6-fagure uniform {3[7]} δ7 hδ7 qδ7 222
E7 7-fagure uniform {3[8]} δ8 hδ8 qδ8 133 • 331
E8 8-fagure uniform {3[9]} δ9 hδ9 qδ9 152 • 251 • 521
En-1 (n−1)-fagure uniform {3[n]} δn hδn qδn 1k2 • 2k1 • k21