Funcție de undă

Funcție de undă este denumirea tradițională pentru funcția de stare a unei particule sau a unui sistem de particule, în formularea dată de Erwin Schrödinger mecanicii cuantice, numită și mecanică ondulatorie.

Ecuația lui Schrödinger

Pentru un sistem cu n {\displaystyle n\,} grade de libertate, funcția de undă este o funcție de coordonatele x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},...,x_{n}} în spațiul configurațiilor și de timp:

ψ = ψ ( x 1 , . . . , x n , t ) . {\displaystyle \psi =\psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)\,.}

Ea satisface ecuația lui Schrödinger, care are forma generală[1]

H ψ = i ℏ ∂ ψ ∂ t , {\displaystyle {\mathcal {H}}\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,,}

unde H {\displaystyle {\mathcal {H}}} este operatorul hamiltonian al sistemului. Această ecuație liniară determină funcția de undă până la un factor constant, care se fixează prin condiția de normare

∫ | ψ ( x , t ) | 2 d x 1 . . . d x n = 1 . {\displaystyle \int |\psi \left(\mathbf {x} ,t\right)|^{2}\,dx_{1}...dx_{n}=1\,.}

Integrala e extinsă la întreg spațiul configurațiilor, iar hermiticitatea hamiltonianului asigură că ea nu depinde de timp.[2]

În cazul particulelor cu spin diferit de zero, funcția de undă depinde și de variabilele de spin, hamiltonianul conține termeni corespunzători interacțiilor de spin, iar în condiția de normare se face o sumare peste variabilele de spin.

Interpretare statistică

Modul în care starea sistemului este conținută în funcția de undă a fost indicat de Max Born, care i-a dat acesteia o interpretare statistică: cantitatea P = | ψ | 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}=|\psi |^{2}} reprezintă densitatea de probabilitate de localizare, adică

| ψ ( x 1 , . . . , x n , t ) | 2 d x 1 . . . d x n {\displaystyle |\psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)|^{2}\,dx_{1}...dx_{n}}

reprezintă probabilitatea de localizare a sistemului în elementul de volum d x 1 . . . d x n {\displaystyle dx_{1}...dx_{n}\,} din spațiul configurațiilor. Condiția de normare la unitate este expresia certitudinii că sistemul există, în orice moment, în spațiul configurațiilor.[3][4]

Stări staționare

Dacă hamiltonianul nu depinde explicit de timp, funcția de undă reprezintă o stare staționară a sistemului și are forma

ψ ( x 1 , . . . , x n , t ) = u ( x 1 , . . . , x n ) e − i ℏ E t , {\displaystyle \psi \left(x_{1},...,x_{n},t\right)=u\left(x_{1},...,x_{n}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}\,,}

unde u ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle u\left(x_{1},...,x_{n}\right)} satisface ecuația lui Schrödinger independentă de timp

H u ( x 1 , . . . , x n ) = E u ( x 1 , . . . , x n ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}\,u\left(x_{1},...,x_{n}\right)=E\,u\left(x_{1},...,x_{n}\right)\,.}

Impunând condiția suplimentară ca soluția să fie diferită de soluția banală identic nulă iar comportarea ei să fie astfel încât condiția de normare să poată fi satisfăcută, aceasta devine o problemă de valori proprii, care determină nivelele de energie E {\displaystyle E\,} ale sistemului.[5][6]

Note

  1. ^ Țițeica, pp. 45–46.
  2. ^ Messiah, pp. 101–102.
  3. ^ Țițeica, pp. 56–58.
  4. ^ Schiff, pp. 22–24.
  5. ^ Messiah, pp. 60–62.
  6. ^ Schiff, pp. 27–34.

Bibliografie

  • Albert Messiah: Mécanique quantique, Tome I, Dunod, Paris, 1962.
  • Leonard I. Schiff: Quantum Mechanics, ed. 2-a, McGraw-Hill, New York, 1955.
  • Șerban Țițeica: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.

Vezi și

Legături externe

  • If Ψ is a function, what is it a function of? Arhivat în , la Wayback Machine.


v • d • m
Fizică cuantică
Teorie cuantică veche
Mecanică cuantică
Teorie cuantică relativistă
Proiect:Mecanică cuantică