Matrice

În matematică, o matrice (plural matrice^[1] sau matrici^[2]) este un tabel dreptunghiular de numere, sau mai general, de elemente ale unei structuri algebrice de tip inel. Prin generalizare, pot fi definite matrice cele care au mai mult decât 2 dimensiuni, ele numindu-se atunci matrici n-dimensionale. Dacă m = n, matricea este pătrată.

Definiție

Se numește matrice cu m linii și n coloane (de tip ${\displaystyle m\times n\!}$) un tablou cu m linii și n coloane:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\!}$

ale cărui elemente ${\displaystyle a_{ij}\!}$ sunt numere complexe.

Uneori această matrice se notează cu indici, ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right),}$ unde ${\displaystyle i={\overline {1,m}}}$ și ${\displaystyle j={\overline {1,n}}.}$

Pentru elementul ${\displaystyle a_{ij}}$ indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice, j, indică pe ce coloană este situat.

Mulțimea matricilor de tip ${\displaystyle m\times n\!}$ cu elemente numere reale se notează prin ${\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {R} ).}$ Aceleași semnificații au și mulțimile ${\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {Z} ),M_{m,n}(\mathbb {Q} ),M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

Cazuri particulare

1. O matrice de tipul ${\displaystyle 1\times n\!}$ (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie și are forma:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$

2. O matrice de tipul ${\displaystyle m\times 1\!}$ (deci cu m linii și o coloană) se numește matrice coloană și are forma:

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\cdots \\a_{m}\end{pmatrix}}}$

3. O matrice de tip ${\displaystyle m\times n\!}$ se numește nulă (sau matrice zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O:

${\displaystyle O={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$

4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește pătrată:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

Sistemul de elemente ${\displaystyle (a_{11}\;a_{22}\;\cdots \;a_{nn})\!}$ reprezintă diagonala principală a matricei A, iar suma acestor elemente se numește urma matricei A notată:

${\displaystyle Tr(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}.}$

Mulțimea matricelor pătrate se notează ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} ).\!}$ Printre aceste matrice, una este foarte importantă, aceasta fiind:

${\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

și se numește matrice unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).

Egalitatea a două matrice

Fie ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$, ${\displaystyle B=(b_{i,j})\in M_{m,n}(C)}$. Se spune că matricele ${\displaystyle A,B}$ sunt egale și se scrie ${\displaystyle A=B}$ dacă ${\displaystyle a_{i,j}=b_{i,j},\forall i,j={\overline {1,n}}}$

Transpusa unei matrice

Fie ${\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)}$. Transpusa matricei A este:

${\displaystyle A^{T}=B=(b_{i,j})\in M_{n,m}(C)}$ dată de: ${\displaystyle b_{i,j}=a_{j,i}\forall i={\overline {1,n}};={\overline {1,m}}}$

Matrice simetrică

Fie matricea pătrată ${\displaystyle A=(a_{i,j})\in M_{n,n}(C)}$. Se spune că matricea ${\displaystyle A}$ este simetrică dacă este egală cu transpusa ei: :${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i},\forall i,j={\overline {1,n}}}$

Operații cu matrice

Adunarea matricelor

Fie ${\displaystyle A=(a_{ij}),\;B=(b_{ij}),\;C=(c_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).\!}$

Matricea C se numește suma matricelor A, B dacă:

${\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\;\forall i={\overline {1,m}},\forall j={\overline {1,n}}.}$

Observații.

1. Două matrice se pot aduna dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii și același număr de coloane, deci ${\displaystyle A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

2. Explicit, adunarea matricelor A, B înseamnă:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}.}$

Proprietăți ale adunării matricelor

Asociativitatea adunării. Adunarea matricelor este asociativă, adică:

${\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

Comutativitatea adunării. Adunarea matricelor este comutativă, adică:

${\displaystyle A+B=B+A,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

Element neutru. Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică:

${\displaystyle \exists O_{m,n}\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}$ astfel încât ${\displaystyle A+O_{m,n}=A\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

Element opus. Orice matrice ${\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}$ are un opus, notat ${\displaystyle -A,}$ astfel încât:

${\displaystyle A+(-A)=O_{m,n}.}$

Înmulțirea cu scalari a matricelor

Fie ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ și ${\displaystyle A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$ Se numește produsul dintre scalarul ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \!}$ și matricea A, matricea notată ${\displaystyle \lambda A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )}$ definită prin ${\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij}).}$

Observație

A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest scalar. Deci:

${\displaystyle \lambda A={\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots &\lambda a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{pmatrix}}.}$

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

${\displaystyle \lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}$

${\displaystyle \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B,\;\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A,\;\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} );}$

${\displaystyle 1\cdot A=A,\;1\in \mathbb {C} ,\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}$

Înmulțirea matricelor

Există mai multe tipuri de produse ale matricilor. Operația prezentată în continuare este cunoscută sub denumirea de înmulțirea matricială.^[3]

Fie ${\displaystyle A=(a_{ik})\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;B=(b_{kj})\in M_{n,p}(\mathbb {C} ).}$

Produsul dintre matricele A și B (în această ordine), notat ${\displaystyle AB}$ este matricea ${\displaystyle C=(c_{ij})\in M_{m,p}(\mathbb {C} ),}$ definită prin:

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},\;\forall i={\overline {1,m}},j={\overline {1,p}}.}$

Observații

Produsul ${\displaystyle AB}$ a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă ${\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),}$ adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obține o matrice ${\displaystyle C=AB\in M_{m,p}(\mathbb {C} ).}$

Dacă matricele sunt pătrate ${\displaystyle A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )}$ atunci are sens întotdeauna atât ${\displaystyle AB}$ cât și ${\displaystyle BA,}$ iar în general, ${\displaystyle AB\neq BA}$ adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Proprietățile înmulțirii matricelor

Asociativitatea înmulțirii. Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:

${\displaystyle (AB)C=A(BC),\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ),\;\forall B\in M_{n,p}(\mathbb {C} ),\;\forall C\in M_{p,r}(\mathbb {C} ),}$

Distributivitatea înmulțirii față de adunare. Înmulțirea matricelor este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică:

${\displaystyle (A+B)C=AC+BC,\;C(A+B)=CA+CB,\;\forall A,B,C}$

matrice pentru care au sens operațiile de adunare și înmulțire.

Dacă ${\displaystyle I_{n}\in M_{n}(\mathbb {C} )}$ este matricea unitate, atunci:

${\displaystyle I_{n}A=AI_{n}=A,\;\forall A\in M_{n}(\mathbb {C} ).}$

se spune că ${\displaystyle I_{n}\!}$ este element neutru.

Determinanți

Dacă ${\displaystyle A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(K),}$ este o matrice pătrată cu elemente din K, atunci numărul:

${\displaystyle det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\varepsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}}$

se numește determinantul lui A.

Note

Bibliografie

• Academia Română, Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan - Al. Rosetti”, Dicționarul ortografic, ortoepic și morfologic al limbii române, Ediția a II-a revăzută și adăugită, Editura Univers Enciclopedic, București, 2005 ISBN 973-637-087-x
• Mădălina Roxana Buneci, Elemente de analiză matricială, (curs) utgjiu.ro, 2007

Lectură suplimentară

• Tiberiu Ionescu, Grafuri, aplicații, vol. I, (pp.71-143 & passim) Editura Didactică și Pedagogică, București - 1973;
• Alexandru Al. Roșu, Teoria grafelor, algoritmi, aplicații (cap. 4. Matrice asociate grafelor, pp.98-113 & passim), Editura Militară, București - 1974.

Vezi și

• Rangul unei matrice
• Teorema Cayley-Hamilton
• Matrice pătrată
• Urma matricii
• Diagonală principală

Legături externe

• en eMathZone.com