Pavare pătrată

Pavare pătrată
Descriere
Tippavare uniformă
Configurația vârfului4.4.4.4 (sau 44)
Configurația fețeiV4.4.4.4 (sau V44)
Simbol Wythoff4 | 2 4
Simbol Schläfli{4,4}
{∞}×{∞}
Diagramă Coxeter




Grup de simetriep4m, [4,4], (*442)
Grup de rotațiep4, [4,4]+, (442)
Poliedru dualautoduală
Proprietățitranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului
Pavarea (auto)duală

În geometrie pavarea pătrată, teselarea pătrată sau grila pătrată este o pavare regulată a planului euclidian. Are simbolul Schläfli {4,4}, ceea ce înseamnă că are 4 pătrate în jurul fiecărui vârf.

Unghiul intern al pătratului este de 90°, astfel încât patru pătrate în jurul unui punct acoperă 360°. Este una dintre cele trei pavări regulate ale planului. Celelalte două sunt pavarea triunghiulară și pavarea hexagonală.

Colorarea uniformă

Există 9 colorări uniforme distincte ale unei pavări pătrate. Enumerarea culorilor prin indici pe cele 4 pătrate din jurul unui vârf este: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Cazurile (i) au simetrie de reflexie simplă, iar cele (ii) simetrie de reflexie translată. Trei pot fi văzute în același domeniu de simetrie drept colorări reduse: 1112i din 1213, 1123i din 1234 și 1112ii redus de la 1123ii.

9 colorări uniforme
1111 1212 1213 1112i 1122
p4m (*442) p4m (*442) pmm (*2222)
1234 1123i 1123ii 1112ii
pmm (*2222) cmm (2*22)

Poliedre și pavări înrudite

Această pavare este legată din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări regulate, extinzându-se în planul hiperbolic: {4,p}, p=3,4,5...

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {4,n}
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.

{4,3}
{4,4}
{4,5}
{4,6}
{4,7}
{4,8}...
{4,∞}

Această pavare este, de asemenea, legată din punct de vedere topologic, ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, începând cu octaedrul, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n progresând la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice Euclidiană Pavări hiperbolice
24 34 44 54 64 74 84 ...∞4
Variante de pavări cvasiregulate duale: V(4.n)2
Simetrie
*4n2
[n,4] 		Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracompactă Necompactă
*342
[3,4] 		*442
[4,4] 		*542
[5,4] 		*642
[6,4] 		*742
[7,4] 		*842
[8,4]... 		*∞42
[∞,4] 		 
[iπ/λ,4]
Pavare
 
Conf.
V4.3.4.3
V4.4.4.4
V4.5.4.5
V4.6.4.6
V4.7.4.7
V4.8.4.8
V4.∞.4.∞ 		V4.∞.4.∞
Variante de pavări expandate cu simetrii orbifold *n42: n.4.4.4
Simetrie
*n42
[n,4] 		Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
*342
[3,4] 		*442
[4,4] 		*542
[5,4] 		*642
[6,4] 		*742
[7,4] 		*842
[8,4] 		*∞42
[∞,4]
Figuri
expandate
Config. 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 ∞.4.4.4
Figuri
rombice
config.
V3.4.4.4
V4.4.4.4
V5.4.4.4
V6.4.4.4
V7.4.4.4
V8.4.4.4
V∞.4.4.4

Construcții Wythoff la pavarea pătrata

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care pot fi bazate pe pavarea pătrată regulată.

Desenând dalele colorate cu roșu pe fețele originale, galbene în vârfurile originale și albastre de-a lungul laturilor originale, toate cele 8 forme sunt distincte. Totuși, tratând fețele în mod identic, există doar trei forme distincte din punct de vedere topologic: pavare pătrată, pavare pătrată trunchiată și pavare pătrată snub.

Pavări uniforme cu simetria pavării părate
Simetrie: [4,4], (*442) [4,4]+, (442) [4,4+], (4*2)
{4,4} t{4,4} r{4,4} t{4,4} {4,4} rr{4,4} tr{4,4} sr{4,4} s{4,4}
Duale uniforme
V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.4.4.4 V4.8.8 V3.3.4.3.4

Pavări topologic echivalente

Pavările izoedrice au fețe identice (sunt tranzitive pe fețe) și pe vârfuri, există 18 variante, cu 6 identificate prin triunghiuri care nu se conectează „latură la latură”, sau ca patrulatere cu două laturi coliniare. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.[1]

Pot fi realizate și alte pavări cu patrulatere, care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pătratele (4 patrulatere în jurul fiecărui vârf).

O variantă izogonală cu două tipuri de fețe, văzute ca o pavare pătrată snub cu perechi de triunghiuri combinate în romburi Pavările pătrate topologice pot fi realizate cu fețe concave și cu mai mult de o latură în comun la două fețe; această variantă are 3 laturi comune O variantă 2-izoedrică cu fețe rombice
Pavări patrulatere izoedrice
Pătrat
p4m, (*442) 		Patrulater
p4g, (4*2) 		Dreptunghi
pmm, (*2222) 		Paralelogram
p2, (2222) 		Paralelogram
pmg, (22*) 		Romb
cmm, (2*22) 		Romb
pmg, (22*)
Trapez
cmm, (2*22) 		Patrulater
pgg, (22×) 		Romboid
pmg, (22*) 		Patrulater
pgg, (22×) 		Patrulater
p2, (2222)
Patrulatere degenerate sau triunghiuri care nu sunt aliniate latură la latură
Isoscele
pmg, (22*) 		Isoscele
pgg, (22×) 		Scalene
pgg, (22×) 		Scalene
p2, (2222)

Note

  1. ^ en Grünbaum, Tilings and Patterns, p. 473–481 (din lista de 107 de pavări izoedrice)

Bibliografie

  • en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  • en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1”. 
  • en Williams, Robert (). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 36. ISBN 0-486-23729-X. 
  • en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (). Tilings and PatternsNecesită înregistrare gratuită. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  • en John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
 v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu Familia A ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}} C ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}} B ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}} D ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}} G ~ 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{2}} / F ~ 4 {\displaystyle {\tilde {F}}_{4}} / E ~ n − 1 {\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
E2 Pavare uniformă {3[3]} δ3 hδ3 qδ3 Hexagonală
E3 Fagure convex uniform {3[4]} δ4 hδ4 qδ4
E4 4-fagure uniform {3[5]} δ5 hδ5 qδ5 Fagure 24-celule
E5 5-fagure uniform {3[6]} δ6 hδ6 qδ6
E6 6-fagure uniform {3[7]} δ7 hδ7 qδ7 222
E7 7-fagure uniform {3[8]} δ8 hδ8 qδ8 133 • 331
E8 8-fagure uniform {3[9]} δ9 hδ9 qδ9 152 • 251 • 521
En-1 (n−1)-fagure uniform {3[n]} δn hδn qδn 1k2 • 2k1 • k21
  • v
  • d
  • m
Periodice


Aperiodice
Altele
  • Anizoedrică și izoedrică
  • Arhitectonică și catoptrică
  • Dală
  • Fagure
  • Grafică digitală
  • Izotoxale
  • Probleme
    • Domino
      • Wang
    • Heesch
    • Cvadratura pătratului
  • Grilă regulată
  • Împachetări
  • Voronoi
  • Voderberg
  • Limita cercului III
  • Regular Division of the Plane
După
tipul
vârfurilor
  • 2n
  • 33.n
  • V33.n
  • 42.n
  • V42.n
Regulate
  • 2∞
  • 36
  • 44
  • 63
Semiregulate
  • 32.4.3.4
  • V32.4.3.4
  • 33.42
  • 33.∞
  • 34.6
  • V34.6
  • 3.4.6.4
  • (3.6)2
  • 3.122
  • 42.∞
  • 4.6.12
  • 4,82
Hiperbolice
  • 32.4.3.5
  • 32.4.3.6
  • 32.4.3.7
  • 32.4.3.8
  • 32.4.3.∞
  • 32.5.3.5
  • 32.5.3.6
  • 32.6.3.6
  • 32.6.3.8
  • 32.7.3.7
  • 32.8.3.8
  • 33.4.3.4
  • 32.∞.3.∞
  • 34.7
  • 34.8
  • 34.∞
  • 35.4
  • 37
  • 38
  • 3∞
  • (3.4)3
  • (3.4)4
  • 3.4.62.4
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7)2
  • (3.8)2
  • 3,142
  • 3,162
  • (3.∞)2
  • 3.∞2
  • 42.5.4
  • 42.6.4
  • 42.7.4
  • 42.8.4
  • 42.∞.4
  • 45
  • 46
  • 47
  • 48
  • 4∞
  • (4.5)2
  • (4.6)2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7)2
  • (4.8)2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.102
  • 4.10.12
  • 4.122
  • 4.12.16
  • 4.142
  • 4.162
  • 4.∞2
  • (4.∞)2
  • 54
  • 55
  • 56
  • 5∞
  • 5.4.6.4
  • (5.6)2
  • 5.82
  • 5.102
  • 5.122
  • (5.∞)2
  • 64
  • 65
  • 66
  • 6∞
  • 6.4.8.4
  • (6.8)2
  • 6.82
  • 6.102
  • 6.122
  • 6.162
  • 73
  • 74
  • 77
  • 7.62
  • 7.82
  • 7.142
  • 83
  • 84
  • 86
  • 88
  • 812
  • 8.62
  • 8.162
  • ∞3
  • ∞4
  • ∞5
  • ∞6
  • ∞∞
  • ∞.62
  • ∞.82