Serie de puteri

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o serie infinită de forma:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

unde a_n reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .}$

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoarea 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteri

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate în continuare.

• Convergența uniformă a seriilor de puteri în intervalul de convergență .

Teoremă. Fie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ o serie de puteri convergentă pe intervalul ${\displaystyle (-R,+R)}$. Pentru orice număr ${\displaystyle r}$, astfel încât ${\displaystyle 0<r<R}$, seria este uniform convergentă pe intervalul ${\displaystyle [-r,+r]}$.

Demonstrație.

Deoarece ${\displaystyle r<R}$ și ${\displaystyle r>0}$, rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este absolut convergentă, deci pentru ${\displaystyle |x|\leq r}$ seria ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este absolut covergentă.

Dar ${\displaystyle |a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|r^{n}}$ și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.

Această teoremă are două consecințe:

Consecința 1. Suma ${\displaystyle S}$ a unei serii de puteri ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este o funcție continuă pe intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval ${\displaystyle [-r,+r]\subset (-R,R)}$ seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie ${\displaystyle S}$ este o funcție continuă pe ${\displaystyle [-r,+r]}$.

Consecința 2. Suma ${\displaystyle S}$ a unei serii de puteri ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este uniform continuă pe orice interval compact ${\displaystyle I}$ conținut în intervalul de convergență.

Demonstrație.

Pe orice interval ${\displaystyle I=[a,b]\subset (-R,R)}$ suma ${\displaystyle S}$ este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact ${\displaystyle I}$.

• Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.

Teoremă. Fie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ o serie de puteri convergentă pe intervalul ${\displaystyle (-R,+R)}$. Seria ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$, formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.

Demonstrație.

Dacă notăm cu ${\displaystyle R'}$ raza de convergență a serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$, avem

${\displaystyle R'=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n+2}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n+2}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n+2}}}\right|=R.}$

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm

${\displaystyle S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ și ${\displaystyle \phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}}$,

atunci

${\displaystyle S'(x)=\phi (x)}$ pentru orice ${\displaystyle x\in (-R,R)}$.

Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei ${\displaystyle S}$ este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, ${\displaystyle S'=\phi }$.

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.

Consecința 3. Dacă ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este o serie de puteri cu raza de convergență ${\displaystyle R}$:

1. seria formată cu derivatele de ordinul ${\displaystyle n}$ ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență ${\displaystyle R}$;
2. suma ${\displaystyle S}$ a seriei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență ${\displaystyle (-R,R)}$ și derivata de ordinul ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle S^{(n)}(x)}$ este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul ${\displaystyle n}$ pentru orice ${\displaystyle x\in (-R,R)}$.

Operații cu serii de puteri

Fie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ și ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ două serii de puteri cu raze de convergență ${\displaystyle R_{1}}$, respectiv ${\displaystyle R_{2}}$.

• Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})x^{n}}$, care are ca rază de convergență ${\displaystyle R\geq min(R_{1},R_{2})}$.

Într-adevăr, pentru orice ${\displaystyle x_{0}}$, astfel încât ${\displaystyle |x_{0}|<R_{1},\quad |x_{0}|<R_{2}}$, seriile numerice ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x_{0}^{n}}$ și ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x_{0}^{n}}$ sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.

Dacă ${\displaystyle A(x)}$ și ${\displaystyle B(x)}$ sunt sumele celor două serii și ${\displaystyle S(x)}$ este suma seriei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})x^{n}}$, avem ${\displaystyle S(x)=A(x)+B(x)}$ petru orice ${\displaystyle |x|<R}$.

• Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})x^{n}}$, care are ca rază de convergență ${\displaystyle R\geq min(R_{1},R_{2})}$.

Dacă ${\displaystyle D(x)}$ este suma seriei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}-b_{n})x^{n}}$, atunci

${\displaystyle D(x)=A(x)-B(x)}$ petru orice ${\displaystyle |x|<R}$.

• Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,

${\displaystyle a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\ldots +a_{n}b_{0})x^{n}+\ldots ,}$

care are ca rază de convergență ${\displaystyle R\geq min(R_{1},R_{2})}$.

Dacă ${\displaystyle T(x)}$ este suma seriei produs, atunci

${\displaystyle T(x)=A(x)\cdot B(x)}$ petru orice ${\displaystyle |x|<R}$.

• Câtul celor două serii de puteri cu sumele ${\displaystyle A(x)}$, ${\displaystyle B(x)}$, ${\displaystyle b_{0}\neq 0}$ este o serie de puteri cu suma ${\displaystyle C(x)}$,

${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n}+\ldots ,}$

cu coeficienți ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ definiți de egalitatea ${\displaystyle A(x)=B(x)\cdot C(x)}$.

Coeficienții ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ se determină dintr-un sistem de ecuații liniare infinit.

${\displaystyle {\begin{cases}a_{0}=b_{0}c_{0}\\a_{1}=b_{0}c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}=b_{0}c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\\ldots \\a_{n}=b_{0}c_{n}+b_{1}c_{n-1}+\ldots b_{n-1}c_{1}+b_{n}c_{0}\\\ldots \end{cases}}}$

Serii de puteri remarcabile

Nr. crt.	${\displaystyle f(x)}$	Domeniu maxim de definiție	Dezvoltarea în serie de puteri ale lui ${\displaystyle x}$ pentru funcția ${\displaystyle f(x)}$	Raza de convergență a seriei	Mulțimea de convergență a seriei	Mulțimea de divergență a seriei
1.	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
2.	${\displaystyle e^{-x}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
3.	${\displaystyle a^{x}}$, ${\displaystyle a>0,\;a\neq 1}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(\ln a)^{n}}{n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
4.	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\cdot x^{2n}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
5.	${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\cdot x^{2n+1}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
6.	${\displaystyle \arctan x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\cdot x^{2n+1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle D_{f}/M_{C}}$
7.	${\displaystyle \cosh x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{(2n)!}}\cdot x^{2n}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
8.	${\displaystyle \sinh x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{(2n+1)!}}\cdot x^{2n+1}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\hat {A}}}$
9.	${\displaystyle (\alpha +x)^{a}}$, ${\displaystyle a,\alpha \in \mathbb {R} }$	${\displaystyle (-\alpha ,\infty )}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
10.	${\displaystyle (\alpha -x)^{a}}$, ${\displaystyle a,\alpha \in \mathbb {R} }$	${\displaystyle (-\infty ,-\alpha )}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
11.	${\displaystyle (1+\alpha x)^{a}}$, ${\displaystyle a,\alpha \in \mathbb {R} }$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},\infty ,)}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {{\alpha }^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
12.	${\displaystyle (1-\alpha x)^{a}}$, ${\displaystyle a,\alpha \in \mathbb {R} }$	${\displaystyle (-\infty ,{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-{\alpha })^{n}a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{\alpha ^{n-a}\cdot n!}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
13.	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha +x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
14.	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha -x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
15.	${\displaystyle {\frac {1}{1+\alpha x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-\alpha )^{n}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
16.	${\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\alpha ^{n}\cdot x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
17.	${\displaystyle {\frac {x}{\alpha +x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n+1}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
18.	${\displaystyle {\frac {x}{\alpha -x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-\alpha \}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}\cdot x^{n+1}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
19.	${\displaystyle {\frac {x}{1+\alpha x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{-{\frac {1}{\alpha }}\}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-\alpha )^{n}\cdot x^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
20.	${\displaystyle {\frac {x}{1-\alpha x}}}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\frac {1}{\alpha }}\}}$	${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\alpha ^{n}\cdot x^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle (-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})}$	${\displaystyle D_{f}\setminus M_{C}}$
21.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
22.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
23.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
24.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Bibliografie

• Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984