Broj e

Broj e {\displaystyle e} , kao matematička konstanta, još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Broj e se može definirati kao :

  1. Limes niza brojeva
    e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
  2. Suma beskonačnog niza:
    e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }
    gdje je n! faktorijela n.
  3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
    ∫ 1 e 1 t d t = 1 {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}
    istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
  4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:
    e i ⋅ π = − 1 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}