Položaj (geometrija)

Dvije točke P i Q, te njihovi radijvektori (označeni kao r → P {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{P}} i r → Q {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{Q}} ).

Položaj (takođe vektor položaja, radijus-vektor, radijvektor ili provodnica) je vektor r → {\displaystyle {\vec {r}}} kojemu je početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O, obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava, a vrh u promatranoj točki P. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše P(r). Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora neke točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke. [1]

Primjena

Trajektorija

Ukoliko se vektor položaja r → {\displaystyle {\boldsymbol {\vec {r}}}} materijalne tačke menja tokom vremena, to znači da dolazi do promene položaja, a tada vektor položaja svojim vrhom opisuje trajektoriju (putanju) tačke. Matematički izražena, zavisnost vektora položaja od vremena naziva se parametarskom jednačinom trajektorije:

r → = r → ( t ) , {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}\left(t\right),}

gde je t {\displaystyle t} vremenski trenutak za koji se traži vektor položaja. Ova jednačina u stvari predstavlja parametraski zadatu jednačinu krive koju tačka opisuje tokom svog kretanja i opštu jednačinu kretanja.

U Dekartovim koordinatama, vektor položaja se može zapisati preko projekcija po osama x, y i z:

r → = r x x ^ + r y y ^ + r z z ^ {\displaystyle {\vec {r}}=r_{x}{\hat {x}}+r_{y}{\hat {y}}+r_{z}{\hat {z}}}

Brzina i ubrzanje

Brzina se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

v → = d r → d t {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}

Ubrzanje se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

a → = d v → d t = d 2 r → d t 2 {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}}

Drugi Keplerov zakon

Glavni članak: Drugi Keplerov zakon
Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna (normalna) s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

Na prikazanoj slici d v {\displaystyle dv} je priraštaj kuta v {\displaystyle v} koji odgovara kratkom intervalu d t {\displaystyle dt} . Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

d p = r 2 π 2 π d v = 1 2 r 2 d v {\displaystyle dp={\frac {r^{2}\pi }{2\pi }}dv={\frac {1}{2}}r^{2}dv}

( v {\displaystyle v} u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj d v {\displaystyle dv} vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom r {\displaystyle r} . Tako proizlazi:

d p d t = 1 2 r 2 d v d t {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {dv}{dt}}}

d p d t {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}} naziva se površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ta je brzina konstantna:

r 2 d v d t = C {\displaystyle r^{2}{\frac {dv}{dt}}=C}

i to je matematički izraz drugoga Keplerova zakona.

Izvori

  1. ↑ radijvektor ili radijusvektor, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.