Baires kategorisats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2024-03) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire.

Baires kategoriteorem

Varje fullständigt metriskt rum ${\displaystyle X}$ besitter följande två egenskaper:

• Om ${\displaystyle \{O_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ är en följd bestående av öppna och täta delmängder av ${\displaystyle X}$, så är deras snitt ${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }O_{n}\,}$ också en tät delmängd av ${\displaystyle X}$.
• Mängden ${\displaystyle X}$ kan inte framställas som en uppräknelig union av ingenstans täta delmängder ${\displaystyle \{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ : ${\displaystyle X\neq \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}.}$