En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i
.
Formell definition
Låt
vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden
,
dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i
.
Mångfald
Grassmannmångfalden är en mångfald med topologin från metriken
,
,
där
,
och
är ortogonala projektioner på V och W och
Måttstruktur
Definiera en funktion från ortogonalgruppen
till
på följande sätt:
, så att ![{\displaystyle \Xi _{V}(g)=gV.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff100ac5b41d023a7d9939b8a2dd39e539dbe18)
Grassmannmåttet
ett bildmått:
![{\displaystyle \gamma _{n,m}:=\Xi _{V\#}\theta _{n},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ff197f0e7a976ab818398d83c25e080d03dd09)
dvs för
![{\displaystyle \gamma _{n,m}(A)=\theta _{n}(\{g\in O(n):gV\in A\}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b22482b6ac5967a3f92f74a1cc6ae784ccbb55)
Här är
det vridningsinvariant måttet i
.
Källor
- Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.