Kleins fyrgrupp

Kleins fyrgrupp, ofta betecknad V, är i matematiken gruppen Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} , en direkt produkt av den cykliska gruppen C2, med sig själv. Den är isomorf med den dihedrala gruppen D 2 {\displaystyle D_{2}} .

Eftersom gruppen innehåller fyra element fick den namnet Vierergruppe av Felix Klein i ett verk från 1884. Kleins fyrgrupp och den cykliska gruppen med fyra element, Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} , är de enda grupper, upp till isomorfi, vilka har fyra element. Kleins fyrgrupp är den minsta grupp, som inte är cyklisk.

Kleins fyrgrupp kan exemplifieras med gruppen { 1 , 3 , 5 , 7 } {\displaystyle \{1,3,5,7\}} med operatorn multiplikation modulo 8, eller uttryckas som en permutationsgrupp:

V = { ( 1 ) , ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) , ( 1 , 3 ) ( 2 , 4 ) , ( 1 , 4 ) ( 2 , 3 ) } {\displaystyle V=\{(1),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\,}

och är som sådan en normal delgrupp till den alternerande gruppen A 4 {\displaystyle A_{4}} och den symmetriska gruppen S4

Cayleytabellen för Kleins fyrgrupp är:

* 1 i j k
1 1 i j k
i i 1 k j
j j k 1 i
k k j i 1

De tre element med ordning 2 i gruppen är utbytbara; automorfigruppen är gruppen av permutationer av tre element.

Referenser

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. sid. 70. ISBN 91-44-01262-4