Simplex

Inom geometri är ett simplex, ibland kallat hypertetraeder, en n-dimensionell motsvarighet till en triangel eller tetraeder. Ett n-simplex är den enklast möjliga polytopen i n-rummet, och en regelbunden polytop (och tillika ett regelbundet simplex) om alla dess sidor är av samma längd.^[1]

Namnet kommer från latinets simplex som betyder "enkel".

En ${\displaystyle N}$-dimensionell simplex har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{3,3,...,3\right\}}$ med ${\displaystyle N-1}$ treor.

Definition

Mer specifikt är ett simplex det konvexa höljet till en ändlig uppsättning punkter i ett euklidiskt rum. Ett simplex är ett n-simplex om det är mängden av det konvexa höljet av ${\displaystyle (n+1)}$ affint oberoende punkter. Om mängden är ${\displaystyle \{x_{i}\},(i=0,...,n)}$ så bildar vektorerna ${\displaystyle x_{i}-x_{0}}$ en bas för det associerade vektorrummet.^[2] Enklare uttryckt är det en uppsättning punkter som är sådan att inget m-dimensionellt plan rymmer fler än ${\displaystyle (m+1)}$ punkter från uppsättningen.

I enlighet med detta utgörs ett simplex av en given dimension av en punkt fler än dess givna dimension. Ett 0-dimensionellt simplex, eller 0-simplex, blir alltså en punkt. Ett 1-dimensionellt simplex, 1-simplex, är på samma sätt två punkter som avgränsar ett linjesegment. Ett 2-simplex är således en triangel, ett 3-simplex en tetraeder och ett 4-simplex en pentatop (i samtliga fall med ett inre).^[3]

Rubrik

Låt ${\displaystyle A_{1},...,A_{n+1}}$ vara hörn i ett n-simplex i Eⁿ. Då kan varje punkt ${\displaystyle X}$ i Eⁿ uttryckas på formen

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}A_{i},\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1}$,

där ${\displaystyle x_{i}}$ är reella tal.^[4]

Element

Eftersom en delmängd av en affint oberoende mängd är affint oberoende självt, följer det att alla element av lägre dimension som utgör ett simplex även själva är simplexar.^[5] Mer specifkt sägs det konvexa höljet till någon delmängd m av de n punkterna vara ett simplex och kallas en m-sida. 0-sidor kallas hörn, 1-sidor kanter, ${\displaystyle (n-1)}$-sidor celler och (den enda) n-sidan är hela simplexet. Generaliserat är antalet m-sidor lika med binomialkoefficienten ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$ och antalet m-sidor hos ett n-simplex finns i ${\displaystyle (m+1)}$-kolumnen på rad ${\displaystyle (n+1)}$ i Pascals triangel.

Ett enkelt sätt att se detta är att föreställa sig en triangel som, enligt ovan, innehåller tre 0-sidor, alltså de tre hörnen. Den innehåller tre 1-sidor (eller kanter), det vill säga linjesegmenten som sammabinder hörnpunkterna. Dess n-sida är triangeln självt.

En triangel med 3 hörn, 3 kanter och en sida.

Benämningar

^[1]

Tillämpningar

Den så kallade simplexmetoden är en metod för att lösa linjära optimeringsproblem. Dessutom är simplex och delsimplex centrala objekt i algebraisk topologi.

Källor

Noter

Litteratur

• Janson, Tore (2002). Latin: kulturen, historien, språket. Stockholm: Wahlström & Widstrand. Libris 8560512. ISBN 91-46-18335-3 (inb.)