Ultraprodukt

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd A i , i ∈ I {\displaystyle A_{i},i\in I} av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur A = Π F A i {\displaystyle A=\Pi _{\mathcal {F}}A_{i}} sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna A i {\displaystyle A_{i}} .

Definition

Låt A i , i ∈ I {\displaystyle A_{i},i\in I} vara strukturer av en fix signatur, och F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ett ultrafilter på I. Låt S = Π i ∈ I A i {\displaystyle S=\Pi _{i\in I}A_{i}} vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation ≡ {\displaystyle \equiv } på S {\displaystyle S} genom ( a i ) ≡ ( b i ) {\displaystyle (a_{i})\equiv (b_{i})} omm { i ∈ I ∣ a i = b i } ∈ F {\displaystyle \{i\in I\mid a_{i}=b_{i}\}\in {\mathcal {F}}} . Låt A {\displaystyle A} vara kvoten av S {\displaystyle S} med avseende på ≡ {\displaystyle \equiv } . Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

A ⊨ R ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle A\models R(a^{1},...,a^{n})} omm { i ∈ I ∣ A i ⊨ R ( a i 1 , . . . , a i n } ∈ F {\displaystyle \{i\in I\mid A_{i}\models R(a_{i}^{1},...,a_{i}^{n}\}\in {\mathcal {F}}}

där a j = ( a i j ) {\displaystyle a^{j}=(a_{i}^{j})} . Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna A i {\displaystyle A_{i}} med avseende på ultrafiltret F {\displaystyle {\mathcal {F}}} .

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel

  • Ultraprodukten av en mängd strukturer A i , i ∈ I {\displaystyle A_{i},i\in I} med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i j ∈ I {\displaystyle j\in I} är isomorf med A j {\displaystyle A_{j}}
  • Ultraprodukten av en mängd kroppar K i {\displaystyle K_{i}} där K i {\displaystyle K_{i}} har karakteristik p i {\displaystyle p_{i}} , det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
  • Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.